ab

2ab

ou

ab

el il suffit de poser

pour faire disparaître les puissances impaires de la variable.

Remarque 1. — Il est bon d'observer que, si le produit

{x — cc){x — |3)(.r — y){x — 5) est réel, les quantités a et b pourront toujours être supposées réelles; en efTet, la condition de réalité des racines de l'équation du second degré qui fournit a el b est

(«j3 ySy [c,p[y + ,î) - 7.î(a + p)](a + p - 7 - J)»>0.

Le premier membre de cette égalité s'annule pour a = y, oc =: 0, (3 == 7, |3 = cî, et l'on constate facilement qu'il est égal à [a — '/){« — ^){^ — 7){^ — ^)' I' *^st donc réel si a, (3, y, d sont réels. Il est encore réel si, ce que l'on peut supposer, a et (3 sont conjugués, et si y et § sont réels ou conjugués. Ainsi donc on peut toujours supposer a el b réels si

est un polynôme à coefficients réels.

Remarque 11. — Si le polynôme placé sous le radical y n'était pas décomposé en facteurs, en remplaçant x par

et en annulant les coefficients de ? et Ë' sous le

radical, on obtiendrait la même simplification.

Remarque 111. — Si l'on avait

j=V^G(.r — a)(x-p)(x-7), en posant

( 43 ) on trouverait

4> désignant une fonction rationnelle de ^ et de n.

Ainsi toute intégrale telle que V, dans laquelle y désigne un radical carré recouvrant un polynôme du troisième ou du quatrième degré, peut ôtre ramenée à la forme

y désignant un radical de la forme

^G(i -\-nix^)[i -h«a;^),

m et n désignant des constantes, et il est clair qu'en posant

on pourra ramener le radical à la forme

Posant alors

les intégrales que nous nous proposons d'étudier prendront la forme

y=.fY[x,y]d.r,

F désignant toujours une fonction rationnelle. Nous verrons par la suite que la quantité A*, à laquelle on a donné le nom de module, peut toujours être censée réelle et moindre que l'unité.