RÉDUCTION DES IJSTÉGRALES ELLIPTIQDES A. DES TYPES SIMPLES
Reprenons l'intégrale dans laquelle nous avons vu que l'on pouvait supposer
^ = v/(i-x')(i-A-»*')î F(a:, r) peut toujours être mis sous la forme y-r-^ — [^
(p el ^ désignant deux fonctions entières de x et j^; mais une fonction entière de or et de y peut toujours être censée du premier degré en y, car y* est une fonction entière de x, j^ est le produit de y par une fonction entière de x, etc. On peut donc poser
„ , , A + Br
A, B, C, D désignant des polynômes entiers en x.
Si l'on multiplie les deux termes de cette fraction par C — Dj^j elle prend la forme
F(.r,j)=IVH-Nj,
M et N désignant deux fonctions rationnelles de a:, et
comme N/ = -, on peut encore écrire
F(a:,j) i=Mh- ->
P désignant une nouvelle fonction rationnelle de jc 5 la formule (i) donne alors
La première intégrale s'obtient par des procédés bien
( 45 ) connus et peut s'exprimer au moyen des logarithmes et des fonctions rationnelles. Il reste alors à étudier les intégrales de la forme
Je dis que l'on peut toujours supposer qu'il n'entre dans l'expression de P que des puissances paires de x \ en effet, on peut poser
I + Lx
H, K, I, L désignant des polynômes de degré pair en j:, et, par suite, on a
(H-hKx](I — Lx)^ V — Ux" '
P peut donc être censé de la forme M -hNx
M, N, S désignant des polynômes de degré pair. La formule ( a ) donne alors
N dx
La seconde intégrale, en posant x' = s, prend la forme
dz
ff[-<
Sl[x-z]{i-k^z)
oùf[z) est rationnel en z; elle pourra donc s'obtenir par les procédés enseignés dans les Éléments du Calcul intégral. 11 ne reste donc plus qu'à s'occuper des intégrales de la forme (a), dans lesquelles P ne contient que des puissances paires de x.
La fonction P, étant décomposée en éléments simples,
se composera de termes de la forme A.r*"* et — ^
A et a désignant des constantes, et l'inlégrale U se composera elle-même de termes réductibles aux formes
dx
L'inlégrale I* peut encore se simplifier, et l'on peut toujours supposer /n = o ou /n = i : il suffit pour cela d'observei' que l'on a
a, h, c désignant des constantes que l'on déterminera en faisant les calculs indiqués; on en conclut la formule de réduction
/^lm /•^î'"-» Cx^"'-* — dx + h \ dv -h c I dx , j J X J y
— dx de proche en proche, quand on connaîtra
/dx Cx'^d.r.
il suffira pour cela d'y faire successivement m = 2, 3, ....
