L. — Fond, ellij t. i

WOTlOrJS PUÉLIMINAIUES.

Avant d'aborder la question dus fonctions cllipliques^ nous ferons connaître quelques principes relatifs à la théorie générale des fonctions.

Nous représenterons une imaginaire a; -f-^ y/ — i par un point dont les coordonnées seront x et y^ ou par une droite dont la longueur sera le module r == y/x^-f-^*, faisant avec l'axe des x un angle Q égal à l'argument de X -hj \l — I . Cet argument sera d'ailleurs pour nous

l'un quelconque des angles ayant pour cosinus - et pour

sinus -• r

Quand nous dirons que le point x 4-jK sj — * décrit une courbe, il faudra entendre par là que le point dont les coordonnées sont x^j décrit cette courbe. Gn peut considérer l'expression X -f- Y \J — i , où X et Y sont des fonctions de x et j^ comme une fonction de x -f- j sj — i . Caucliy se plaçait à ce point de vue, mais nous ne considérerons que les fonctions de x -¥- y \J — i ayant une dérivée unique et bien déterminée. Cette condition d'avoir une dérivée unique impose à X et Y certaines propriétés que nous allons faire connaître. La dérivée de X + Y \j — i est

dX , dX^ , /dY, dY^ \

f/X -4- dY y/— I

d.r -\- dj- y/ — i ' dx ->r dj yj — i

' dy

et, pour qu'elle soit indépendante du rapport — ? c'esl-à-

dire de la manière dont dx -h dj y/ — i tend vers zéro,

(3) il faut que

(IX / dY tlK , dY

ûx or dr <\r

l'oùTon conclut, en égalant les parties réelles et les coefficients de J — I ,

dX dY dY dX ,.,

(ijr (Jj- dx dj- ''

Nous supposerons ces relations toujours satisfaites; d'ailleurs, la manière dont on prend les dérivées des fonctions cjue l'on rencontre en analyse prouve que ces fonctions n'ont qu'une seule dérivée.

Une fonction qui n'a qu'une dérivée en chaque point, c'esl-à-dire pour chaque valeur de la variable, aquelquefois»été appelée monM^ène.

Une fonction est dite monodrome dans une portion C du plan, quand, le point qui représente sa variable (ou, pour abréger, quand sa variable) se mouvant dans cette portion C du plan, la fonction reprend toujours la même valeur quand sa^variable repasse par le même point.

Les fonctions bien définies, telles que les fonctions rationnelles, le sinus, le cosinus, l'exponentielle, etc., sont monodroraes dans toute l'étendue du plan: car, leur variable étant donnée, elles sont entièrement définies. Il n'en eslpas de même des fonctions irrationnelles ; ainsi, pour ne

prendre qu'un seul exemple, \/z — a ou yûc-^y \J^—i — a n'est pas monodrome à l'intérieur d'un contour contenant le point a.

Imaginons, en eflet, que le point z, on x-\-y \j — i •

(*) Pour l'interprétation de ces furmnicj, voir le Traité des fouet ion < doublement périodiques, de MM. Rriot et Bouquet,

décrive un cercle de rayon rayant pour centre le. point a, on sait que la droiie qui représente la somme de deux imaginaires est la résultante des droites représentant chaque partie de la somme (*) ; la droite re'v^-*, qui représentera la somme z — a, sera donc la résultante des droites qui représentent z et — a. Cette droite est celle qui va du point + a au point z. Supposer que le pointz décrit un cercle de rayon r autour du pointu, c'est donc supposer que le module r de z — a = re*v^~* reste constant. Cela posé, on a

Que le point z se meuve sur le cercle en tournant dans le sens positif (celui dans lequel les angles croissent en

Trigonométrie), 0 va croître ain^que -• Mais, quand

ô aura varié de air, le point z sera revenu à son point de départ, et z aura repris sa valeur initiale 5 il n'en sera pas de même de sjz — a, qui sera devenu

et qui aura changé de signe.