DES INTÉGRALES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES

La fonction .y^( 2 ) de la variable imaginaire

zz=zx-\-y \j — i

(*) Voir l'Ouvrage de Mourey sur La vraie théorie des quantités pré" tendues imaginaires ; sur le Calcul des équipollences {^Nouvelles Annales, 2* série, t. VIII, 1869); mon Traité d'Algèbre ; l'Ouvrage de MM. Briot et Bouquet déjà cité, etc.

( 5) est en réalité une fonction de deux variables, et si, entre X et j', on établit une relation, telle que

r{z) devient alors fonction de la seule variable t. Si V^^^ pose alors

^.=-?{/.), r. = ^î'(^), X = <p(T), T = >KT), et

l'iiitégiale

aura une valeur bien déterminée. On représente souvent cette intégrale par le symbole

qui, comme 1 on voit, est indéterminé si l'on ne dit pas de quelle façon x ely sont liés entre eux ou à t. Cette expression est ce que l'on appelle une intégrale prise entre des limites imaginaires; pour en préciser le sens, on ajoute la relation qui lie x à y, soit directement, soit par l'intermédiaire de la variable auxiliaire t.

Le plus souvent on emploie, pour fixer le sens de la

notation I J'{z) dz, un langage géométrique, et, au lieu

de se donner les relations a? = Ci- («), j^ = tp(^), on indienne la nature de la courbe représentée par ces équations. Si, par exemple, on posait

je=cost, /:=sinr,

on aurait a:*-f-^'= i, et si l'on intégrait par rapport à t de zéro à r, on dirait que l'on prend l'intégrale le long

(6) d'un demi -cercle de rayon un, décrit de l'origine comme centre et limité à l'axe des x.

Réciproquement, quand on se donne le contour d'intégration, on ramène facilement l'intégrale à une ou plusieurs autres prises entre des limites réelles. Supposons, par exemple, que l'on demande d'intégrery(z)</2 le long d'une droire inclinée à 45 degrés sur l'axe des x^ issue de l'origine et aboutissant à un point situé à la distance / de l'origine.

Les éauaticnsde cette ligne seront

on aura

et, par suite,

ff[z)dz=:

Je prends pour limites o et /, parce que t représente la distance du point [x^ y) h l'origine^ cette distance est o ou/, selon que le point {x,j) est à l'origine ou À l'extrémité de la droite.

Théorème de Cauchy. — Le point z variant à Vinté' rieur d'un contour donné, si, à L'intérieur de ce contour, la fonction f{z) reste monodrome, monogène et finie ,

l'intégrale j f(^z)dz conservera toujours la même va-

leur, pourvu que le chemin qui mène de Zq ciTa ne soi^e pas du contour donné, quel que soit d'ailleurs ce chemin .

Pour démontrer ce théorème, un des plus féconds de toute l'Analyse, nous intégrerons la fonction ^^(2} le long

dx = dt — ,

dy=^dt^

(7) de deux contours AMB, ANB. Soient s l'arc du premier contour compté à partir du point A, et ks l'arc du second compté toujours à partir du même point A5 soient

les équations du premier contour, et

celles du second^ et, en désignant par S l'arc AMB,

Fig. I.

supposons que JiS soit Tare ANB. Joignons maintenant les points correspondants des deux contours; soient M et N deux points correspondants, c'est-à-dire tels que AN=^AA1VI. Nous supposerons que la droite IMN soit tout entière dans l'intervalle compris entre les deux contours-, considérons maintenant le contour ayant pour équations

* = ?! [s) l-<pj [fis]

ai — aj X, — aj

Pour a = ai, il se réduira au premier contour AMB, et, pour oc =z a,, il se réduira au second ANB: et, de plus, tous ses points seront compris à l'intérieur de l'aire AMBNA, quand on supposera a compris entre aj

(8) et a,. Intégrons la foucûon f{z) le long de ce contour, nous aurons

-p) -T- restent d'ailleurs finis, ainsi que leurs dérivées

prises par rapport à a. Appelons u cette intégrale, nous

aurons

ou

du d

ou, en intégrant le second terme par parties,

ou

au r dz-js

Or — est nul pour s = o et 5 = S, le contour passant en A et B pour 5 = 0 et .ç = S quel que soit a, c'est-à-dire

du

ne dépendant pas alors de a, donc -— = o, et. par suite,

da '^

u ne dépend pas de a; il a donc la même valeur pour

a = «j et pour a = a^, c'est-à-dire que l'intégrale prise

le long de AiNJB ou de ANB conserve la même valeur.

Cela supporse toutefois quey(z) conserve la même valeur,

(9) quel que soil le contour par lequel le point z se rend de A en B5 /^(-z) doit donc être mouodrome; elle doil aussi être monogène, car nous avons supposé

et

c'est-à-dire que nous avons admis quey'(2) restait indë pendant de la direction de l'accroissement donné à r, pour en faire le calcul; enfin nos raisonnements suppnsenty^(2) etf[z) finis.

Considérons maintenant deux contours quelconques

Fig. a.

aboutissant en A et B, et désignons, pour abréger, par (PRQ ...) l'intégrale de/(z) prise le long d'un contour désigné par PRQ .... Le théorème est démontré pour deux contours formant à eux deux un contour fermé convexe, car une sécante joignant deux points correspondants ne rencontre le contour fermé qu'en deux points et reste intérieure à ce contour : il en résulte que l'intégrale prise le long d'un contour fermé convexe quelconque est nulle, car l'intégrale en question est égale à l'intégrale prise le long d'un contour infiniment petit. C'est cette proposition que nous allons d'abord généraliser : considérons le contour AMBN, décomposons-le en une infinité d'autres par des parallèles à une direction donnée, on obtiendra ainsi une série do contours con-

vexes. En vertu de la notation adoptée, on aura alors

[ab] + (hb') -{- [b'a') + [a' a) =o, [a' h') 4- [b'b") -f. {b"a") + (fl'V) =o,

si l'on ajoute toutes ces formules, les termes tels que [a' b') et [b'a) se détruisent, et il reste 'L[a' a) -+- 'ï,[bb') = o, c'est-à-dire que l'intégrale prise le long du contour fei mé total est nulle. On a donc

(AMB) -t-(BNA) = o, ou

(AMB) — (ANB) = o, c'est-à-dire

(AMB) = (ANB).