R'F'=BF

et, par suite.

On trouverait de même

RF = f:=: Ml

Le rapport de ces distances focales est donné par l'égalité

Mais, d'après les valeurs des longueurs focales élémentaires,

on a

. A __ ^ /l — ^ /i ^\^ ft~ r^\

donc

/ ni n^ Fil

Ainsi, le rapport de la seconde à la première distance focale est égal au rapport de V indice n^ du dernier milieu réfringent à V indice n^ du premier.

Quand ces milieux extrêmes sont les mêmes, les longueurs focales deviennent égales et leur valeur commune est

d'où

n désignant V indice relatif àe la lentille.

En second lieu, calculons la distance de chaque point principal à la surface réfringente voisine. Soient h^ et /i, les distances AR et BR'. On déduit aisément de la relation (i)

H' F' '"R'F'""// d'où

On trouverait de même

Le rapport de ^i à /ij, rendu explicite, fournit la relation

R (h f\ nj—n^

/ij — /ij

ou simplement

si n^^zriz, c'est-à-dire si les milieux extrêmes sont identiques. Dans ce cas particulier, les distances des points principaux aux faces de la lentille sont proportionnelles aux rayons de ces faces.

On a aussi séparément, pour A, et A,,

'' ^n(R-hR') — e(/i-i)'

/i(R-hR') — £(/i — I)

En troisième lieu, on a, pour la distance mutuelle des points principaux ou Tinterstice des nœuds,

ou, dans le cas où le premier et le dernier milieu sont les

mêmes,

Les expressions précédentes conduisent immédiatement à la démonstration du théorème suivant, si important dans l'étude physique de l'œil :

Dans un système de surfaces sphériques réfringentes, on peut, sans modifier la réfraction des rayons, accoler à chaque surface réfringente une couche infiniment mince, d'indice quelconque, présentant la même courbure sur ses deux faces.

Effectivement, si l'on suppose que l'épaisseur de la lentille devienne infiniment petite et qu'on ait à la limite e in o, et si

l'on pose, en outre, R'zzi— R, les valeurs de /et de/' se réduisent à

de plus, on trouve

/ii= A,=i A = 0.

Ainsi les plans principaux coïncident entre eux et avec le plan tangent au sommet de la surface réfringente; les longueurs focales, indépendantes de /i), sont exactement les mêmes que s'il n'y avait qu'une seule surface réfringente, séparant deux milieux d'indices n^ et rix (^).

Quant aux deux points nodaux N et N', ils doivent satisfaire aux conditions