I-rO

et

( ' ) Il suffit de se reporter au Chapitre I. Crocllebois. — Lentilles épaisses.

divisons-les membre à membre, nous aurons

d'où

équation déjà rencontrée au Chapitre I.

Points nodauz. — Dans le cas d'une surface réfringente unique, nous avons vu qu'un rayon passant par le centre de courbure ne subissait pas de déviation : cela nous donnait immédiatement la direction d'un rayon réfracté, et il suffisait d'en tracer un second pour déterminer l'image d'un point. Nous avons appelé le centre de courbure centre de similitude; il serait tout aussi juste de l'appeler point nodal ou nœud, puisque c'est par ce point que défilent tous les axes secondaires qu'il y a lieu de considérer. Lorsque la lumière traverse deux ou un plus grand nombre de surfaces réfringentes, on ne peut avoir un point unique doué de la même propriété. Mais un physiologiste allemand, M. Listing, collègue de Gauss à l'Université de Gôttingue, a reconnu l'existence de deux points singuliers, jouant un rôle analogue au centre de courbure d'une surface sphérique, et qu'il a appelés points nodaux {Knotenpuncke), Effectivement, tout rayon dirigé vers le premier point nodal donne, à V émergence, un rayon qui passe par le deuxième et est parallèle au rayon incident. Cherchons à déterminer ces points nodaux.

Soient F et F', R et R' les éléments de notre lentille, c'està-dire les deux plans focaux et les deux plans principaux

(y^. i5). Considérons un rayon quelconque SH' parallèle à l'axe ; il coupe le premier plan focal en T et se réfracte suivant H' F', passant par le second point focal F' de la lentille. Le point T étant dans le plan focal, tous les rayons qui en émanent sortent de la lentille parallèles entre eux et à H' F'. Traçons un de ces rayons incidents, LTN, parallèle à H' F' et perçant le premier plan principal en D ; il se réfractera aussi parallèlement à H' F'. Le point D ayant pour conjugué D', le

Fig. i5.

rayon conjugué de TN s'obtiendra en menant par D' une parallèle D'N' à H' F'. Or les deux triangles rectangles TFN et H'R'F' sont égaux par construction et, par suite, la distance FN est égale à la seconde longueur focale R'F' ; les deux autres triangles rectangles T'F'N' et HDT sont aussi égaux par construction, car F'T'i= D'H'=: DH, et par suite la distance F'N' est égale à TH ou FR, c'est-à-dire à la première longueur focale de la lentille. Donc les points N et N' sont fixes et conjugués ; à tout rayon incident qui, prolongé, passe par le point N , correspond un rayon émergent parallèle dont le prolongement passe par le point N'. Ce sont les points nodaux de la lentille : N se nomme premier point nodal et N' second point nodal.

Il résulte de l'examen de la figure que la distance NN', ap-

pelée interstice des nœuds, est égale à récartement RR' des deux points principaux. En outre, on a

RN=iR'N' =/'—/.

Les points nodaux se troureront donc en portant, à partir des deux points principaux, du côté du foyer le plus long F', des longueurs égales entre elles et à la différence des foyers, ou encore en portant de F vers F' une longueur égale à f et de F' vers F une longueur égale kf.

Ces deux rayons parallèles, Tun incident, Fautre émergent, portent le nom de lignes directrices ou simplement de directrices. Celle qui représente le rayon incident s^appelle pre~ mière directrice et l'autre seconde directrice. Leur rôle dans les appareils dioptrîques est le même que celui des axes secondaires dans la réfraction par une seule surface réfringente. Ce sont aussi les points d'où l'œil pourrait voir les dimensions homologues de l'objet et de l'image sous le même diamètre apparent, c'est-à-dire avec le même grossissement angulaire.

Antre construction d'nn rayon conjugué, des images. — En utilisant la propriété des points nodaux, on construit d'une manière élégante et rapide : i° le conjugué d'un rayon inci-

Fig. i6.

dent quelconque; a"* l'image d'un point placé d'une manière quelconque.

I* Soit PH un rayon incident ^fig- i6) qui rencontre le premier plan focal en T et le premier plan principal en H. Tout rayon issu de T est parallèle après réfraction à la />rejnière directrice TN. Le point H ayant pour conjugué H', le rayon émergent est H'P' parallèle à TN.

D'après ce que nous avons dit précédemment sur la propriété du second plan focal, nous pouvons aussi procéder de la manière suivante : tirons la directrice N'T' parallèle à PH ; cette ligne coupe en T' le second plan focal, et c'est en T' que viennent concourir tous les rayons incidents parallèles à PH : H'T' est le rayon réfracté.

2* Soit Q un point lumineux hors de l'axe {fig* 17).

On trace le rayon incident QH', parallèle à l'axe, qui donne

Fig. 17.

le réfracté H' F'; puis on tire le couple de directrices QN, N'Q'. L'intersection de la deuxième directrice N'Q' avec H' F' donne en Q' l'image de Q.

On peut aussi tracer QF passant par le premier point focal ; ce rayon incident donne le réfracté parallèle à l'axe UQ'. L'intersection de ce dernier avec la directrice N'Q' donne l'image cherchée.

Centre optique. — Il est intéressant de montrer quel est isolément le rôle des points nodaux dans les constructions

géométriques qui aboutissent à Timage d^un objet. Un cône de rayons qui converge en N {fig> i8) donne naissance à un second cône qui diverge de N' et se trouve constitué par des rayons parallèles deux à deux à ceux du premier cône. Il est digne de remarque que les rayons intérieurs à la lentille, ah,

Fig. i8.

a' b\ qui unissent les points d'incidence et d'émergence de deux rayons conjugués, se coupent en un même point M sur Taxe de la lentille. En effet, les triangles semblables MNaet MN'6 d'une part, et MAa, MB 6 d'autre part, donnent

MN Ma MA

MN' M6 MB'

et par suite