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propriétés de ces plans. Pour fixer les idées, nous supposerons la lentille biconvexe.

Soient A et B {fig» 12) les deux surfaces terminales de la lentille, Fj et ¥\ le premier et le second point focal de la première surface A, F, et F, le premier et le second point focal de la seconde surface B. Traçons une droite indéfinie SS' parallèle à Taxe principal, qui perce les deux faces de la lentille en I et en I'. Si SI est un rayon incident, le rayon réfracté correspondant IFj passe par le point Fj, qui est le second point focal de la surface A. Si S' F est un rayon incident, il se réfracte suivant FFj, passant par le premier point focal F, de la face B. Du point K, intersection de ces deux rayons réfractés IFj et FFj, abaissons la perpendiculaire KO sur l'axe principal : je dis que le point O est le même pour tous les rayons parallèles à Taxe.

En effet, il résulte de la construction que les deux triangles lAFj et KOFj sont semblables et donnent Tégalité de rapports

lA af; KO "" of; *

Les deux autres triangles FBFj et KOFj sont aussi semblables et fournissent pareillement

FB ou lA BF,

KO ~" OF, Donc

OF2 BFj

of; "~ af; *

Or les pôles A et B des deux surfaces ainsi que les foyers F, et F; sont des points fixes : les longueurs BF, et AF; sont donc constantes et, par suite, le point O occupe une position

invariable sur l'axe, quels que soient les points où le tayon incident SS' perce les deux surfaces A et B.

Actuellement regardons la perpendiculaire KO comme une ligne lumineuse fixe, et, en particulier, cherchons l'image du point K, d'abord à travers la face A, puis à travers la face B. Le rayon Kl prolongé passe par le foyer principal ¥\ et, par conséquent, émerge suivant IS parallèle à l'axe principal; un autre rayon KV, parallèle à l'axe principal, émerge en se réfractant suivant VFj, qui passe par le foyer principal Fj. L'image de K, vue à travers la face A, est donc en H au point d'intersection des prolongements de ces deux rayons émergents. Par une construction identique, on reconnaît que l'image de K, vue à travers la face B, est en H', au point d'entrecroisement des prolongements géométriques des deux rayons réfractés F S' et V'Fj. Abaissons HR et H'R' perpendiculaires sur l'axe principal; d'après la propriété des plans conjugués, relatifs à une seule surface réfringente, HR est l'image de la ligne lumineuse KO à travers la face A et H'R', l'image de la même droite à travers la face B. Ainsi un faisceau de lumière incidente qui converge en H se transforme dans la lentille en un faisceau de rayons qui convergent en K; leurs prolongements forment un second cône qui diverge du point K et qui sort de la lentille en divergeant du point H'. Les points H et H' sont donc images l'un de l'autre à travers la lentille tout entière et ils sont situés du même côté et à égale distance de l'axe. Si H est un point du rayon incident, H' est un point du rayon émergent correspondant. Cette relation a lieu évidemment entre deux points quelconques pris sur les perpendiculaires HR et H'R' du même côté et à la même dislance de l'axe principal. Enfin, que l'on conçoive deux plans menés par R et R' perpendiculairement à Taxe, il

est clair que, pour raison de symétrie, ils seront percés, le premier par le rayon incident, le second par le rayon émergent, en deux points situés sur une même parallèle à l'axe principal.

Ces deux plans s^ appellent plans principaux; HR s'appelle premier plan principal et H'R' second plan principal. Chacun d'eux est l'image optique de l'autre; ce sont même les deux seules images conjuguées qui aient la même grandeur et la même direction (*). Les points R et R' où ils coupent l'axe principal se nomment premier point principal et second point principal. Quand on connaît la position des points principaux R et R', il est facile de déterminer géométriquement la position des deux points focaux F et F'.

Soit (y^. 1 2 ) un rayon incident SI parallèle à l'axe ; il se réfracte suivant IF^ et rencontre en J' la seconde surface B. Le point J appartient évidemment au rayon émergent ; d'ailleurs le rayon incident perce le second plan principal en H', qui se trouve nécessairement aussi sur la direction du rayon émergent. Le rayon définitivement réfracté est donc H' J'F' : F' est le second point focal. On trouverait de la même manière le premier point focal en traçant HJF.

Gonstruction des rayons coigagués. — Soit PH un rayon incident quelconque (^/îg> i3); il s'agit de tracer son conjugué. Le rayon PH coupe le plan focal antérieur en T et le premier plan principal en H. Le point T étant dans le plan focal, tous les rayons qui en émanent sortent de la lentille parallèles entre eux. Or il y en a un, TK', qui, étant parallèle à l'axe, se

( ' ) On peut aussi s'appuyer sur cette propriété pour rechercher directement la position des plans principaux.

OQ

réfracte suivant K'F', passant par le second point focal F' de la lentille. Donc le rayon incident PH se pig. i3.

réfractera parallèlement à K'F'. Le point ^

H ayant pour conjugué H', le rayon conjugué de PH s'obtiendra en menant par H' une parallèle H'P' à K'F'.

Un point lumineux P, situé sur Taxe, aura évidemment pour conjugué le point P', où le rayon réfracté H'P' coupe le rayon central qui a passé sans déviation.

Si le point considéré est hors de Taxe, tel que Q, après avoir tracé H'P' comme nous Pavons indiqué, on mènera le rayon QUU' parallèle à Taxe; il se réfractera suivant U'F', passant par le point focal F'.

L'intersection Q' des deux droites H'P' et U'F'estFimagedeQ.

Il faut remarquer que nous n'avons là, aux alentours des plans principaux, que des lignes de construction. Soient a et b les points où les rayons incident et émergent coupent les faces terminales A et B ; la vraie route du rayon, sa marche réelle, physique est PaôP'.

Gonstmction des images. — S'il s'agit d'un point Q placé hors de l'axe, il suffit, pour obtenir son image, de recourir à deux conjugués spéciaux {Jig. i4)« ^

Menons le rayon QH' parallèle à l'axe et tirons son conjugué H' F' passant par le second foyer F'; me-

tf

nons également le rayon QFU passant par le premier foyer et tirons son conjugué UQ' parallèle à l'axe. Les deux rayons

réfractés se coupent en Q', qui est rimage de Q.

Si l'objet est linéaire et perpendiculaire à l'axe, tel que la flèche PQ, l'image P'Q' est linéaire et aussi perpendiculaire à l'axe.

Équation des points conjugués. — Comptons désormais les distances à partir des points principaux R et R' et non plus à partir des pôles A et B, tout en maintenant les conventions faites sur les signes qu'il faut attribuer à ces distances. En conséquence, appelons / et /' les longueurs focales RF et R'F', p et p' les distances PR et P'R' des points conjugués P et P'; puis désignons par O et I les dimensions linéaires correspondantes de l'image et de l'objet. Dans la fig, i4, les triangles semblables, à gauche FRU et QHU, donnent

à droite, les triangles semblables Q'H'U' donnent également

- aa -

Ajoutant membre à membre ces deux égalités, on trouve

c^est une équation identique à celle que nous avons obtenue pour une seule surface réfringente. Nous avons pris ici pour origine des distances les deux points principaux R et R' ; mais on démontrerait aisément que, lorsqu'on prend pour origines un couple quelconque de points conjugués, on retombe toujours sur la même formule simple (^).

D'autre part, si nous comparons les triangles QFP et FUR qui ont leur sommet en F, puis les triangles Q'F'P' et F'H'R' qui ont leur sommet en F', on aura, en posant FP z=zd e\. F'P'=rf',

d'où

dd'=ff,

seconde forme de l'équation des points conjugués, dite équation de Newton, déjà trouvée au Chapitre I.

Grandeur des images. — Nous avons obtenu plus haut les deux relations