CHAPITRE H

INTROni'CriON '

Consiili>rntüins générales.

1. Une des plus grandes di(TicuUés qu'éprouvent les commençants, en abordant l’étude de l'algèbre, c’est l’usage que l'on y fait de notions mystérieuses en apparence, comme celles des quantités négatis’es et des quantités imaginaires. Les géomètres qui ont assis sur des bases inébranlables les règles du calcul de ces symboles ont rendu un immense service à la philosophie mathématique. On peut cependant ne pas se trouver encore pleinement satisfait de leurs démonstrations, qui sont d’une rigueur inattaquable, sans doute, mais qui laissent subsister dans les mathématiques des symboles de quantités et des signes d’opérations qui semblent ne correspondre à rien de réel. Les raisonnements généralement employés reviennent à établir qu’il y a compensation entre deux absunlités, savoir ; entre la considération de quantités dont l’existence implique contradiction, et entre l’application à ces quantités d’opérations qui n’ont de sens que pour les quantités réelles.

2. On aura donc obtenu un avantage important, si fon parvient à démontrer les inénies règles avec la même rigueur, sans intro-

duiredans les raisonnetncnls antre clios»? que des quantitc's réelles et mesurables, sur lesquelles on exécutera des opérations nettement définies, mais plus générales que les opérations simples de l’arithmétique. De cette manière, au lieu d’arriver au résultat par une route certaine, mais obscure, dans laquelle un esprit timide peut craindre à chaque instant de s'égarer, on passera par une suite de déductions claires, et l'on pourra suivre des yeux toutes les phases du calcul.

On atteint ce but, en introduisant dans l’algèbre de nouveaux signes d’opérations fondés sur des considérations géométriques, qui offrent un champ plus étendu et des ressources plus variées que les considérations arithmétiques que l’on prend généralement pour point de départ.

Toute valeur numérique peut être repré^ntée par le rapport de deux grandeurs géométriques, lignes, angles, aires, volumes, etc., ou simplement par une seule grandeur, si l'unité de son espèce est donnée.

Une figure de géométrie peut être considérée comme la représenhilion d'autant de nombres qu’elle renferme de grandeurs mesurables. .Mnsi, un triangle représente trois nombres par scs trois côtés, trois nombres par ses trois angles, un nombre par son aire, etc.

Toute construction géométrique correspond ù diverses combinaisons d’opérations arithmétiques entre les nombres représentés pr les divers éléments de la construction. Ainsi, une force étant déterminée, dans un plan donné, par deux éléments, une longueur et un angle, la composition de deux forces, qui revient à la construction d’un parallélogramme ou d’un triangle, correspondra à toutes les opérations arithmétiques nécessaires pour déterminer les éléments de ce parallélogramme ou de ce triangle au moyen des deux longueurs et des deux angles donnés. Cet ensemble d’opérations sera désigné, d’une manière aussi claire qu’abrégée, en l’appelant construction d’un paralléloijrotnmc.

A. L’algèbre s’occupe uniquement de la combinaison des opérations, sans s’inquiéter de leur signification ni de leur nature. Elle donne les moyens de remplacer une combinaison d’opérations pr

DES ULA:»riTÉS COMPLEXES. 3

une outre combinaison équivalente; mais elle ne traite nullement de la manière d’effectuer ces opérations. Elle part d’un petit nombre de principes tirés des propriétés communes que présente chaque opération dans les divers cas particuliers pour lesquels elle a été définie. Tels sont les principes suivants :

Une somme ne change pas lorsqu’on intervertit l’ordre de ses parties (principe de Yaddition).

La soustraction est l’opération inverse de l’addition.

Un produit ne change pas Iqrsqu’on intervertit l’ordre de ses facteurs (principe de la multiplication).

Etc.

C’est en partant de ces principes que l’on établit les règles pour la transformation des opérations les unes dans les autres.

Rien n’empêche donc de donner des opérations fondamentales relatives à telle ou telle espèce de quantités telles définitions que l’on voudra, pourvu que ces définitions s’accordent avec les principes en question. Les règles du calcul algébrique s’appliqueront toujours aux opérations ainsi définies tant que ces conditions seront remplies.

Par exemple, rien n’empêchera d’appeler addition la comi»sition de deux forces, et de dire que la résultante est égale à la somme des composantes; caria somme, ainsi définie, jouit de la propriété de ne pas changer lorsqu’on intervertit l’ordre de ses parties.

Naturellement les définitions des opérations ne doivent pas être choisies au hasard. On commence par prendre les définitions les plus simples; puis on les modifie en les généralisant, à mesure que les définitions primitives deviennent insuffisantes. Mais on a soin que chaque nouvelle généralisation renferme toujours les cas particuliers précédents.

.0. Tant que l’on s’en tient aux définitions primitives, les règles de calcul ne peuvent embrasser à la fois tous les cas différents d’une même question; et si les calculs ont été établis spécialement pour un de ces cas, ils conduiront, pour les autres cas, à dos impossibilités. On cherchera alors è généraliser à la fois l’idée de quantité et les définitions des opérations, de manière que l’impossibilité soit écartée, et qu’une même formule puisse embrasser la solution de tous les c.as.

TiiKORiE f:i.fiMrNT.\iiit:

Remarquons, on passant, que l’impossibilité il’im problème n’est |)iis toujours aconséo par la nature même des symboles que le calcul donne pour solution. Elle p»'ut provenir de ce que le résullat ne remplit |ws certaines conditions que l’on n’a pas pu exprimer par les équations du problème. Le problème est impossible, par exemple, lorsque s;i nature exige que ta solution soit un nombre entier, et que le calcul donne un résultat fractionnaire. Tel serait le cas où l’on demanderait combien il faudrait donner de dents à une roue engrenant avec une autre roue armée de 50 dents, pour qu’elle fit 3 fois plus de tours que celle-ci dans le même temps.

Il faut distinguer, en outre, entre l’impossibilité absolue d’un problème, et l’impossibilité de tel ou tel cas de ce problème, lorsqu'il en peut présenter plusieurs. C’est dans ce dernier cas seulement que l’on peut faire disparaître l’impossibilité par la généralisation des opérations.

6. Cette généralisation s’obtient en remplaçant les définitions arithmétiques des quantités et des opérations par des définitions géométriques. C’est ce que l’on a fait, depuis Descartes, pour les quantités négatives. Mais c’est plus tard seulement que l’on a cherché à représenter géométriquement tes quantités imaginaires [vir des grandeurs réelles. Leur théorie purement algébrique n’a guère été fixée que depuis un siècle, après les travaux de d’Alembert et d’Euler, et c’est plus récemment encore que Cauchy y a mis la dernière main.

•Sur l'hiiloire de la théorie géomélrique des imaginaires.

7. Le premier essai de représentation géomélrique des quantités imaginaires est dû au géomètre prussien Heinrich Kühn, né à Kœnigsberg en 1090, mort à Danzig en 1769.

Kühn a publié, en 1750, dans le tome 111 des Novi Commentarii de l’Académie de Saint-Pétersbourg, dont il était membre, un Mémoire de 54 pages in- 4°, intitulé ; Meditatmies de qumditatibus iinaijinariis comlruendis el radicibus imaginariis exhibendis .

Ce travail, que Montucla traite peut-être avec trop de dédain.

DES OUANTITÉS COMPLEXES.

ne contient pns, il est vrai, la solution de la diflieulté, que railleur avait aperçue; mais il a, du moins, le mérite d'avoir mis sur la voie, et il restait bien peu de chose à ajouter pour obtenir la représentation des imaginaires telle qu'on la conçoit aujourd’hui.

8. Voici sur quelles bases reposent les considérations longuement développées par Kühn.

Élant donnés deux axes rectangulaires, portons, à partir de leur intersection mutuelle, et de part et d’autre de celte intersection, sur l'un d’eux, des longueurs égales à a, et sur l’autre, des longueurs égales à b. En donnant des signes à ces longueurs, d’après la convention établie par Descartes, les segments pris sur le premier axe seront t- a et — a ; les segments pris sur le second axe seront H- 6 et — b. Construisons les quatre rectangles qui ont ces segments pour côtés, et donnons aux aires de ces rectangles les signes qui résultent de la multiplication de leurs dimensions en grandeur et en signe. Les aires de ces quatre rectangles seront alors

— X (+3)= p = (-ea) X (— é) = — éa, y = (—a) X (— é)= +ia, i = ( — a) X (-+-é) = — ad .

Supposons maintenant b = a, et désignons par le signe le côté de chacun des carrés résultants. On aura, d'après Kühn,

Vi = V'(-t-a) X ( — a) — —

Vy = V (~a) X (—a) = —a ,

VT= V{—a) X (-4-a) = — V/— a».

Remarquons qu'il serait plus naturel, selon nos idées actuelles, de poser, comme nous le verrons plus tard,

V/F = -f- t/Fi*".

Fut. I

THIllUKIK t:l.f.ME^TAIRF:

0, L’imaginaire ztV — a', f[ui exprime l’une ou l'autre des racines de l’équation

est définie par Kiihn comme le côté de l’un des carrés négatifs P ou 5. Mais l’auteur n’indique pas lequel des côtés du carré il faut prendre pour représenter l’imaginaire, et faute d’avoir fait entrer dans cette reprfeentation la notion de direction, il lui devient impossible de définir ce qu’il faut entendre par la somme d’une quantité réelle et d’une quantité imaginaire, telle qu’on la rencontre dans la solution de l’équation complète du second degré

Il dit bien que cette équation est vérifiée en prenant pour x — g le côté d’un carré négatif; mais il n’indique nullement quel sens il faut attacher à la racine elle-même

C’est donc à tort, selon nous, que l’on fait souvent remonter à Kiihn l’idée de la représentation des imaginaires au moyen d’une direction perpendiculaire à celle qui correspond aux quantités réelles. On voit, au contraire, qu’il considère les longueurs comptées sur l’axe vertical comme des quantités réelles, positives ou négatives, aussi bien que les quantités comptées sur l’axe horizontal. Tout ce qu’on peut dire, c’est qu’il a posé le problème sans le résoudre, et que la lecture de son Mémoire aurait pu mettre ses successeurs sur la voie de la solution.

10. Pendant le demi-siècle qui suivit la publication du travail de Kiihn, la question fut à peu près abandonnée. Nous lisons seulement, dans une Note de Cauchy (*), la mention suivante, à propos des travaux dont nous parlerons tout à fheure ;

« Une grande partie des résultats de ces recherches avait été, à » ce qu’il paraît, obtenue, même avant le siècle présent, et dès » l’annfe 1786, par un savant modeste, M. Henri-Dominique Truel, » qui, après les avoir consignés dans divers manuscrits, les a

(') Exercices li'Aimlysc cl de l'hijsiiiue mulhémalique, l. IV. p. 157.

IIKS UUAMTITËS COMPLEXES.

» communiqués, vers l'année 1810, à M. Augustin Normand, cons- » tructeur de vaisseaux au Havre. >

11. Le premier Mémoire publié sur ce sujet, depuis la tentative de Kühn, est celui de l’abbé Buée, inséré dans les Philosophical Transactions pour l’année 1806, et intitulé ; Mémoire sur les quantités imaginaires (56 («ges) (’).

Dans ce travail. Buée formule nettement, pour la première fuis, la représentation des lignes imaginaires par des longueurs per{)endiculaires à la direction des lignes réelles.

Il parvient à ce résultat par deux raisonnements dilTérents.

Le premier repose sur la construction d’une moyenne propor- Fie. 2 . tionnelle. La perpendiculaire AB, élevée sur le milieu dn diamètre d’un demi-cercle de rayon = 1, est une moyenne proportionnelle entre les deux moitiés, AC — +1, AD = — 1, dn diamètre. Elle a donc pour valeur

L’autre raisonnement n’est autre chose que celui de Kühn, complélé. Buée considère, comme Kühn, les quatre carrés a, y, de côté = 1, formés autour d’un point O, et dont les surfaces sont ± 1 . Le carré a, dans les (|uatrc positions qu’il occupe successivement, en tournant chaque fois d’un quart de révolution autour du point O, prend respectivement les quatre valeurs

On peut considérer ces quatre valeurs comme les carrés des

quantités

qui seraient représentées par le côté OA dans ses quatre positions OA. OA', OA’, OA'.

Celle analyse esl cinprunti'e à ruuvrage du professeur Malzka : l>rsuc/i rinrr riebligen Ij'hrr von ditr Realilÿl der Vi>rgebUch imagiiuiren Grüssen der AIgtbra u. *. w. Prague, 1850.

Tllf.oniK KI.ÉMK.NTAIIIK

Si jiisU' c€pcu(lanl que soit la solutiun donnée |)<ir Buée, on ne |)cut nier qu’elle no repose sur des arguments plus méUtphysiqut's que mathématiques, et sur une extension mal justifiée des règles du calcul algébrique. Aussi son travail n’a-l-il [ws attiré l’attention qu’il aurait méritée, malgré quelques erreurs qui le déparent.

12. Dans la mémo année 1806, Hohert Argand, de Genève, fit imprimer à Paris un opuscule intitulé ; Essai sur une manière de représenter les t/uantilés imaijiunircs dans les constructions ijéométriques . Cet ouvrage, sans nom d’auteur, n’a pas été mis dans le commerce. Nous le connaissons par un extrait qu’en a donné l'auteur dans les Annales de Gergonne (t. IV, 1813), et par une note de Cauchy (•).

Argand établit d’abord, en suivant la première méthode de Buée, la représentation de v ^ par une longueur portée dans une direction perpendiculaire à celle des lignes réelles.

B généralise ensuite celte conception, en introduisant la représentation, par un symbole unique, d’une ligne considérée à la fois en grandeur et en direction.

Il définit, comme nous le ferons plus tard, les opérations de multiplication et d’addition efTecluécs sur les ligues diriijces; il en lire la décoiiqiosilion de ces lignes suivant deux axes rectangulaires, laquelle correspond, en analyse, à la sépar.ition du réel et de l'imaginaire.

Il établit ainsi la formule

qui n’est autre chose que le théorème de Moivre, et il en déduit toutes les formules de la trigonométrie.

Argand termine son Mémoire en exposant géométriquement la démonstration donnée par Legendre de la proposition fondamentale de la théorie des équations algébriques : Toute équation algébrique, à coejjidcnts réels ou imaginaires, a au moins une racine représentée par une ligne dirigée, c'est-à-dire une racine réductible à la forme a + b v .

Dans une Note publiée plus tard dans le même volume des

(') Exerckes d' Analyse et de Physique mathématique, l. IV, p. 179.

IIES UlIA^TlTl.S CUMIM.KXKS.

Annales, Argand reprend sa démonstration avec plus de détails, et la rend tout à fait rigoureuse. Nous la reproduirons plus loin.

trî. Les communications d’Argand avaient eu lieu à l’occasion d’un article publié dans le même recueil scientifique par J. -F. Français, professeur à l’École d’Artillerie de .Metz. Celui-ci, d'après quelques indications qui lui étaient parvenues sur les idées d’Argand, sans qu’il en connût l’auteur, avait réussi à en retrouver les principaux résultats, et en avait fait l’objet d’une Note (^), à la suite de laquelle Argand réclama la priorité.

On remarque, dans la Note de Français, le premier emploi de la nutation

pour désigner une ligne de longueur r, et faisant avec un axe fixe l’angle p, notation très simple, que Cauchy a fini par adopter.

14. Parmi les auteurs qui, depuis Argand jusqu’à Cauchy, ont traité le même sujet, nous citerons seulement Mourey et Warren, dont les travaux ont paru dans la même année 1828.

Mourey, dans une brochure qui a pour titre ; La vraie théorie des qvaiililés négatives et des quantités prétendues imaginaires, dédié aux amis de l’évidence, et qui a été réimprimée en 1801, développe complètement les règles du calcul des lignes dirigées, et donne une nouvelle démonstration de la proposition fondamenbile de la théorie des équations. N'alheureusement la lecture de ce travail remarquable est rendue dilTlcile et rebutante par une profusion de termes nouveaux et de notations bizarres, le plus souvent inutiles.

Mourey se proposait de publier un Traité beaucoup plus étendu, dont sa brochure n’était qu’un extrait, et où il devait être question, entre autres choses, de la représentation symbolique des lignes dans l’espace, au sujet de laquelle Argand et Français n’avaient rien trouvé de satisfaisant. Nous ignorons ce qu’a pu devenir ce manuscrit, dont la perte serait regrettable.

15. John Warren, fellow à l’Université de Cambridge, puis pasteur à Huntingdon , a fait imprimer une brochure intitulée :

(*| Niiureaux jn-inciiies tlf gimnélrk de pusilOm, et interprélatinn ijéuinèlriipie des symMes imaijinaires. {Ann. de Math., I. IV, |i. 01-71.)

10 THÉORIE^ftLÉMENTAlUE

,4 Trcalise on Ihc (jeomeirical représenta! ion of lhe square roots of négative qua/itities. Cambridge, 1828 ( 154 pages grand in-8"). Cette brochure a été suivie de deux articles moins étendus, insérés dans le Philosophical Transactions [jour l’année 182t) (*).

Le travail de Warren est plus complet et plus étendu que l’opuscule de Mourey. La discussion des racines de l’unité y est traite avec soin. L'auteur termine par une démonstration des principales formules de la trigonométrie, et par diverses applications au calcul intégral et à la mécanique. On peut lui reprocher seulement, quoique à un moindre degré peut-être qu’à Mourey, l’introduction de notations compliquées et incommodes.

16. Les deux ouvrages que nous venons de citer renferment complètement la théorie élémentaire de la représentation géométrique des imaginaires, ou, si l'on veut, de la représentation par un symbole imaginaire d’une droite quelconque tracée dans un plan.

Cette théorie a été reprise et coordonnée par Cauchy, dans le tome IV de ses Exercices d’ Analyse et de Physique mathématique (pages 1.57-355), et l’on peut dire maintenant qu’elle a reçu sa forme définitive.

17. 11 n’entre pas dans notre plan de traiter des applications à la géométrie pure et à la mécanique qu'a reçues la théorie dont nous nous occupons. Nous nous contenterons de mentionner les travaux de SchelTler (*) sur l’usage des imaginaires en géométrie analytique, cl le Mémoire de Siebeck (^) sur les transform.ations géométriques déduites de la théorie des imaginaires.

Nous ne pouvons non plus nous occuper du travail considérable publié par M. Maximilien Marie sur les fonctions de variables imaginaires (*), ce travail étant fondé sur un système de représentations des imaginaires essentiellement différent de celui qu’ont adopté Cauchy et Riemann.

(*| Matzka : Versuch ci'ner richtiger Lehre u. s.

(*| lier Silualiunskalkul Brunswick. 1851, 1 vol. in-8“.

(’) Ijeber die graphisrhe Darskdltt/ig iinaginarer Functwiieii. (Journal de Crelle, t. I.V, p. 2Î1-Î53. 1858.)

(*) Nouvelle théorie des fonctions de variables imaginaires. (Journal de Liouville, 1858-1802.)

IIKS UljA;«TITÉS COMPLEXES.