DES QUANTITÉS ARITHMÉTIQUES ET ALGÉBRIQUES, OU QUANTITÉS RÉELLES

18. Dans toute question où les données sont exprimables en nombres, la solution se ramène, en définitive, à des opérations d’arithmétique.

La détermination de ces opérations et leur transformation en d’autres opérations équivalentes constituent le but de l’algèbre, ou plutôt un cas particulier du problème plus général qu’embrasse cette science.

L’algèbre, en effet, s’occupe uniquement de la combinaison d’opérations dont les opérations d’arithmétique forment un cas très restreint, et auxquelles on a donné les mêmes noms qu’aux opérations d’arithmétique, parce qu’elles jouissent des propriétés sur lesquelles les combinaisons des opérations d’arithmétique sont fondées.

Par exemple, le résultat d’une addition arithmétique ne change pas lorsqu’on intervertit d’une manière quelconque l’ordre des parties. C’est sur cette propriété que sont fondées les transformations que l’on peut faire subir aux combinaisons d’additions entre elles, ou aux combinaisons de l’addition avec son opération inverse, la soustraction. De là les différentes manières de calculer la valeur d’un polynôme, etc.

Si nous donnons maintenant le nom à'addilion à une opération quelconque jouissant de la même propriété fondamentale, et le nom de soustraction à l’opération inverse, il est clair que tous les résultats obtenus relativement aux transformations de l’addition et de la soustraction en arithmétique subsisteront encore quand il s’agira des mômes opérations généralisées.

De même, toutes les propriétés de la multiplication, de l’élévation aux puissances et des opérations inverses, la division et l’extraction des racines, découlent du principe général que, dans un produit, on peut intervertir d’une manière quelconque l’ordre des facteurs.

THP.ORIE I^LÊME^TAIRE

Si nous appelons mnltipliailion une opération quelconque jouissant de la môme propriété relativement à l’interversion des facteurs, et si nous en déduisons, comme en arithmétique, les définitions généralisées de l’élévation aux puissances, de la division et de l’extraction des racines, toutes les règles de l’arithmélique déduites du principe fondamental subsisteront pour les opérations généralisées, quelle que soit la nature de ces oftéralions, et quels que soient les moyens à employer pour les effectuer.

19. Il ne faut donc pas se représenter l’algèbre comme opérant uniquement sur des quantités numériques, et ne pouvant traiter les grandeurs concrètes sans passer par l’intermédiaire des nombres. Une formule algébrique peut indiquer immédiatement une construction géométrique ou un mouvement mécanique, sans qu’il soit nécessaire en aucune façon de songer à févaluation numérique des données du problème.

Ainsi, si l’on définit la multiplication géométrique comme la construction d’un rectangle, l’équation

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exprime l'équivalence entre une certaine aire et la somme de plusieurs autres, abstraction faite de toute évaluation numérique de ces aires.

20. Après ces remarques sur l’indépendance qui existe entre les règles données par l’algèbre pour la transformation des opérations et la nature même de ces opérations, occuix>ns-nous des divers systèmes de signes que l’algèbre peut employer dans ses formules pour indiquer ces transformations.

On connaît l’emploi des signes de l’arithmétique -t- , — , X , ,

pour représenter les transformations algébriques de môme nom que les opérations arithmétiques correspondantes.

Mais il est souvent plus avantageux de prendre pour images de ces transformations, non plus des opérations arithmétiques, mais des constructions géométriques, dont la variété beaucoup plus grande permet d’indiquer plus brièvement des combinaisons compliquées, et d’embrasser sous un môme énoncé des cas plus généraux, en môme temps que ces constructions aident l'intelligence en parlant aux yeux.

IIKS UL’ANTITÉS complexes.

Maintenant, lorsqu'on a reconnu qu'une construction géométrique jouit des mômes propriétés fondamentales qu’une certaine opération d'arithmétique, rien n’empéchera de lui donner le nom de cette opération, et do la soumettre comme elle aux transformations de l’algèbre.

21 . Pour en donner un exemple, considérons la règle du parallélogramme des forces. En représentant chaque force par une ligne parallèle à sa direction et de longueur proportionnelle à son intensité, la détermination de la grandeur et de la direction de la résultante de deux forces dépendra des opérations indiquées par la trigonométrie pour la résolution d’un triangle dont on connaît deux côtés avec l’angle qu’ils comprennent. On voit, de plus, aisément que la résultante de deux ou de plusieurs forces ne dépend en aucune manière de l’ordre dans lequel on compose ces forces. Donc l’opération de la composition des forces jouit de la propriété fondamentale de l’addition, de ne pas dépendre, quant au résultat, de l’ordre dans lequel on range les quantités composer. Hien donc n’empôcho de nommer addition de deux ou de plusieurs forces, en grandeur et en direction, la combinaison d’opérations d’arithmétique ou de constructions géométriques qui sert à la détermination de la résultante au moyen de ses composantes. Dès lors, tous les calculs algébriques relatifs à l’addition et à son opération inverse, la soustraction, s’appliqueront, sans aucun changement, à la composition des forces, et les seuls signes -l- ou — snfTiront pour indiquer tout fensemble des opérations d’arithmétique qu’exige la résolution d’un triangle.

Nous allons voir maintenant comment se sont faites les extensions successives des définitions des quantités et des opérations.

/>.< iiiuiulilês el des u/iéraliorvi arithmétiques.

22. On peut représenter tous les nombres, et plus généralement tous les rapports, commcnsurables ou non, des grandeurs à leurs unités respectives, par des longueurs portées sur une droite OX, à partir d’un point fixe 0, pris pour origine, et dans une direction constante de 0 vers X. Celle des extrémités d’une longueur qui est

TllfiORIE ÉLfiMENTAlHE

la plus voisine du point O, est dite le commencement ou l’extrémité initiale; l’autre est dite la (in ou l’extrémité finale.

En adoptant ce mode de représentation , les diverses opérations relatives soit aux nombres, soit aux quantités concrètes, se ramèneront à des constructions géométriques que l’on jwurra généralement effectuer, ou du moins dont on concevra toujours la possibilité.

Nous admettrons qu’une grandeur puisse toujours être transportée, sans changer de valeur, soit le long de l’axe OX, soit sur une parallèle à cet axe.

23. Cela posé, pour faire X'addilion de deux longueurs, on les portera sur la même direction, en faisant coïncider le commencement de Tune avec la fin de l’autre. La somme sera la distance dés deux extrémités non communes.

Pour faire la somtraclion, on portera encore les longueurs sur la même direction, mais en faisant coïncider leurs extrémités finales. La différence sera la distance des extrémités initiales.

On pourrait encore opérer la soustraction en faisant coïncider les extrémités initiales. La différence serait la distance des extrémités finales.

24. La multiplication s’effectuera par la construction d’une Fig 8. quatrième proportionnelle, le produit .t = a. b àc

a par b étant le quatrième terme de la proportion

SurOX, prenonsül = 1 ,0a = a; surO'X', parallèle à OX, prenons 0 ' 6 = 6 ; menons la ligne 1è, qui rencontre, en un point P, la ligne OY, perpendiculaire à OX, et tirons. Pa, qui coupera O'X' en a:. La ligne Ox = x sera la quatrième proportionnelle cherchée, et représentera le produit demandé a.b.

La division se ramène immédiatement à la multiplication, et s’effectue aussi par la construction d'une quatrième pro[>ortionnelle. Ainsi le quotient ^ =-j sera déterminé par la proportion

et se construira comme le produit de tout à l’heure.

DES UL’A.NTITÉS L'OMI’l.EXES. 15

L'élà^ation aux puissances entières s’opère au moyen de plusieurs multiplicalions successives.

25. L’extraction de la racine carrée revient à la construction d’une moyenne proportionnelle entre la quantité donnée et l’unité.

Les extraetions de racines dont les indices sont des puissances de 2 s’opèrent par la répétition de la même construction.

Quant aux racines dont les indices ne sont pas des puissances de 2, on peut les extraire théoriquement à l'aide de l’instrument imaginé par Descartes Q, ou pratiquement par des méthodes d’approximation indéfinie.

Il en serait de même pour la résolution des équations algébriques et pour les opérations transcendantes, correspondantes aux fonctions exponentielles, logarithmiques, circulaires, etc., ainsi que pour la résolution des équations transcendantes.