Pour que la fonction

{a H- tb) = e'

reprenne la même valeur, lorsqu’on changera z en z-]- g ,\\ faut et il suffit que l'exposant de e croisse d’un multiple de 2i:i , c’està-dire que l’on ait, n étant entier

(X -(- iji)g = ,

'Jnirl 5«ir(;i -( il)

® “ 1-1- 1> îdTT

Donc la fonction (a -f- ib)‘ est périodique comme dans le cas d’une base réelle, et sa période est la quantité complexe . 11 ) •

Mais il faut remarquer que fi étant susceptible d’une infinité do valeurs de la foriue gi -f- ikr. , la période n’est plus la môme eu passant d’une valeur à l’autre. Elle tend vers zéro pour /; = ± oo . C’est ce qu’éclaircira encore l'article suivant.

95. Proposons-nous maintenant le problème inverse ; trouver la fonction

2 = log^lC ,

déterminée par l’équation^

‘ (a Kib)* = *0 = (i-i-io,

ou, en exprimant a -|- ib et a -i- it; au moyen de leurs logarithmes,

^t+ll+Ukit

Digitiz

On en conclut, en idcntinant les exposants,

(1) >a; — (n + ’2kn)y = * ,

(2) (ft + 2A-jt)x -I- > y = t + 2A»t .

En éliminant k entre ces deux équations, on en tire

(3) \{x' + y') — SX — (t 2Aff)y = O .

Les points satisfaisant à la question sont situés à l'intersection des droites représentées par l’équation (t) avec les cercles rtqiréscntés par l'équation (3). Toutes les droites (1), ainsi que tous les cercles (3), rencontrent l’axe des x au point A , dont l’abscisse est a: = -^ , et tous les cercles passent par l’origine.

Les droites (1) rencontrent une parallèle aux x en une série de points équidistants. Les centres des cercles (3) forment une autre série de points équidistants.

Pour A = ± 00 , les ^>oints situés sur chaque cercle (3) convergent vers le point 0 .

Si l’on cherche le lieu des points pour lesquels la différence h — k = g àes indices est constante, on trouve, en éliminant k entre les équations (I) et (2) , après y avoir remplacé A par A -t- y ,

\{x' + y') — (* + 3i)a; — (t — fi -i- 2ÿrr)i/ + * = 0 ,

équation d’une série de cercles passant au point A et au point de l’axe des x dont l’abscisse = 1 , les centres étant distribués à intervalles égaux sur la droite ® = -|-0.A + .

Les deux systèmes de cercles dont les intersections déterminent les points z , partagent le plan en quadrilatères curvilignes tels que abdc , dont les points z forment les sommets.

Il est aisé de voir que, sur chaque droite (1), pour A constant, les points z sont distribués à des distances égales, ce qui correspond à la période de la fonction (a ib)‘ dont il a été question rvalle change d’une droite è l'autre.

Fil w.

dans l’article précédent. Cet i