Passons maintenant à la fonction inverse de la tangente

z = arc tang te ,

DES QUANTtTÉS COMPLEXES.

déterminée par la formule

w = tang Z =

SiJ ,

On a, d'après cette équation de définition,

1 +iw 1— iw ’

Z = log •

■2( ° l—iw

En faisant w ~ re‘^ , on a, d'après le paragraphe précédent, Z = arc tang (re ') ~ [log(l + «re*'') — log(l — »re')]

t ^ 2reosn i . I + 2rsinp + r’ = -TT- arc tang — : 4- — log ^

OU, sous une autre forme, arc tang ( « 4- 1 r )

1 — 3rsiup 4- r‘

= ^ai-ctang -4- , log— 4 A‘7

Exponmiietles et logarilhmes à baie complexe.

92. Jusqu'ici nous n'avons considéré que les exponentielles relatives à la base e , à laquelle se ramènent immédiatement les exponentielles relatives à une base réelle et positive quelconque a , puisque l'on a

t flOgtf

log a désignant le logarithme arithmétique du nombre positif a.

Voyons ce que donnent les règles de calcul établies jusqu’ici, lorsqu’on les applique au cas où <i est remplacé par un nombre complexe de la forme a-\-ib , que nous pouvons Ujujours ramener (§ 111) à la forme

i + iu

On a alors

quantité qui se ramène encore à la forme complexe.

Si la base est donnée sous la forme a + ib , son argument ft n'étant connu qu’à un multiple de 2;: près, la valeur générale de l’exponentielle sera en réalité

^l*-(fl+ît7T)r [((i + îtirjx-t-i»]

Ici le module, comme l’argument, dépend de , et l’un et l’autre sont susceptibles d’une infinité de valeurs, correspondantes à la fois à des distances et à des directions différentes.

Pour y = 0 ,,r exposant étant réel, le module de l’exponentielle est déterminé ; l’argument seul a une infinité de valeurs, tant que ar n’a pas une valeur rationnelle. Dans ce cas l’exponentielle, comme nous l'avons déjà vu dans l’article 73, sera représentée par un point quelconque d’un cercle de rayon e

Pour a; = 0 , l’exjKisant étant imaginaire, l’argument sera déterminé; mais le module aura une infinité de valeurs en progression arithmétique, correspondante à des points en ligne droite.

Dans le cas général, on voit, en faisant varier k , que, pour des arguments croissant en progression arithmétique, on a des modules ou rayons vecteurs croissant en progression géométrique. Donc tous les points obtenus en donnant à k différentes valeurs sont situés sur une même spirale logarithmique, et les rayons vecteurs de deux points consécutifs font entre eux un angle constant (*).

On a donc ici affaire à une fonction multiforme, comme les logarithmes ou les arcs de cercle. Comme les points qui représentent les diverses valeurs sont séparés les uns des autres par des intervalles finis (sauf pour les valeurs infinies de k pour lesquelles ces points tendept vers l’origine, point asymptotique de la spirale), on pourra les séparer les uns des autres de manière à choisir celui qui convient à la question. Donc la fonction

(a + tb)

dans le cas où y n’est pas nul, remplit les conditions nécessaires pour être admise en analyse.

1)3. Nous supposons ici l’exposant x + iy complètement déterminé. Si l’on se contentait, comme on peut le faire dans le cas

(•) J Warren, On tbe yeonietrical represenlalion of Ihc poti ers, olc., arl. -12 fl .')0. {Vhihs. Transacl., 1829.)

liRS 01 antitRs complexes.

d'une bose réelle et positive, de donner l’exposant à un multiple de 2ri près, l'exponentielle deviendrait alors, en remplaçant y par y + ‘îh - ,

(pi+atîrHii+JAn) ^l[(/t+îlur)*+X (»+*«)]

Les points qui représentent les valeurs de cette fonction sont alors distribués sur une infinité de spirales logarithmiques. Mais pour des distances de l'origine, finies et différentes de zéro, les points seraient encore séparés par des intervalles finis, et la fonction admissible.