PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES PONCTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE
Caractère général d'une fonction d'une variable complexe.
96. Soit f{z) une fonction continue, réelle ou complexe, d’une variable z ; supposons que cette fonction soit définie, pour des valeurs réelles de cette variable, par une équation de la forme
f, (z) et f, (z) étant des fonctions réelles pour les valeurs réelles de z.
Si dz représente un accroissement réel infiniment petit de la variable z, le rapport
f(z + dz)-f{z) dz
aura pour limite une nouvelle fonction /’(z) de z, qui sera généralement déterminée, et qui ne dépendra nullement du signe de l’accroissement dz, ni de la manière dont on aura fait converger cet accroissement vers zéro. Cette limite s’appelle, comme on sait, la fonction dérivée ou simplement la dérivée de f (z).
L’existence de cette fonction dérivée se vérifie pour toutes les fonctions continues définies a priori. Elle sert è en définir une
TlIKOniK P.I.ftMENTAIRE
infinité d’autres au moyen de l’intégration; et, pour toutes les fonctions inconnues que l’on considère en Analyse, on admet implicitement qu’elles jouissent de la propriété d’avoir une dérivée qui ne devient nulle ou infinie qu’un nombre limité de fois dans un intervalle fini quelconque.
Voyons à quelle condition les fonctions d’une variable complexe jouiront de cette propriété fondamentale.
97. Dans le cas où z est une variable réelle et d: un accroissement réel infiniment petit, on a
f{z+,iz)-nz)
(Iz
-r(‘)-^-^dz,
y. étant une fonction, réelle ou complexe, de z et de dz, qui ne devient pas infinie pour dz = 0. 11 en sera de même, lorsqu’on remplacera z par une valeur complexe
X H- ty — re .
pourvu qu’on laisse dz réel, ou ;/ constant.
Supposons maintenant qu’on fiisse varier à la fois a: et ;/, ou r et p, et soit
dz = dx H idy = f e*’' ,
P étant infiniment petit, et f ayant une valeur quelconque. Si l’on fait cette substitution dans l’équation précédente, le second membre deviendra
la fonction x de z et de f e'*' n’étant pas généralement infinie pour P = 0 ; et par suite la valeur de
dz
se réduira à la partie f'{z), qui est une fonction de z seulement, indépendante de dz et, par conséquent, de l’angle z>.
On voit donc qu’une fonction d’une variable complexe étant définie comme ce que devient une fonction f{z) d’une varable réelle, lorsqu’on substitue à z des valeurs complexes, cette fonction
IIKS QUANTiriïS OOMPI.KXES.
jouirn do la mfinc propriété fondamentale que les fonctions d’une variable réelle, c’est-à-dire qu’elle aura, pour chaque valeur de z, une dérivée par rapport à z, généralement déterminée et finie, dépendant seulement de z, et nullement de la nature de l’accroissement infiniment petit de cette variable.
Les fonctions de variables complexes, ainsi définies, peuvent donc être soumises au calcul d’après les mêmes règles de différentialion et d’intégration que les fonctions de variables réelles; de sorte que, si une fonction est bien définie pour les valeurs réelles de la variable, et si elle est formée au moyen des opérations élémentaires dont la signification a pu être étendue au cas des quantités complexes, on pourra calculer sa diffàmlieUe et son intégrale indéfinie, sans s’inquiéter de savoir si la valeur actuelle de la variable est réelle ou complexe.
98. Une variable complexe z étant une fonction de ses deux composantes x et y, indépendantes entre elles, il en sera de môme de toute fonction f{z) de z, et l’on pourra former les dérivées partielles de f[z) par rapport à chacune des variables indépendantes X ,y . Si l’on pose donc, pour un instant,
/■(•:) = /‘(a- + »y) = é’Cr , y) ,
on aura identiquement
F(x + tlx , y) — F (X , y) /(s d^z) — f (z) d^z
d.c d^z dx ’
F{x,y + dy)-F{x,y ) ^ ^
dg d^z dy
Or, d’après ce que nous avons vu dans le numéro précédent, chacun des rapports
f{z + dz) - f(z) f{z + d^z) -f{z)
a pour limite la dérivée de f{z ) , ou f{z ) . Ensuite
d.r dy
THfiüRIE Ét.f.MENTAinE
Donc
D F(ar , y) = D/(r) = ir(z) .
Ces valeurs montrent que les deux dérivées partielles de la fonction F {x , y) ou f (i) des deux variables indépendantes x , y , sont liées entre elles par la relation
(J) D/(x,v)=-[DF(;r,y),
ou
99. Les fonctions f{z), dont nous venons d’établir la propriété fondamentale, ne sont pas prises dans le sens le plus général que l’on attache au mot fonction, si l’on entend par fonction toute quantité dont la valeur est déterminée pour chaque système de valeurs des variables dont elle dépend.
On pourrait dire, en effet, que les deux variables x eX y étant déterminées dès que l’on a choisi la valeur de la variable complexe Z, cette dernière représente à elle seule un système de valeurs des deux variables réelles x, y; et par suite, qu’en donnant à z toutes les valeurs possibles, on obtiendra tous les systèmes de valeurs des variables x, y, dont dépend la fonction quelconque F{x,y) de deux variables réelles.
Mais on peut prévoir a priori qu’une telle généralisation n’est pas admissible. Elle tient, en effet, à la valeur particulière attribuée au symbole i, d’où dépend la décomposition en deux composantes rectangulaires de la variable z attachée à chaque point du plan. Or, l’usage des variables complexes dans l’Analyse est fondé sur la généralisation des opérations, en vertu de laquelle le symbole t est traité indépendamment de sa signification particulière, et le binôme x + iy soumis aux mêmes règles d’opérations que si la lettre i représentait une constante quelconque. D’après cela, l’extension donnée à la définition des fonctions, lorsqu'on y remplace la variable réelle z par le binôme x H- iy, doit consister à traiter ce binôme comme si la constante i avait une valeur quelconque, puis à particulariser cette valeur seulement dans le résultat.
DES ODAiNTITÉS complexes. 69
Nous appellerons donc fonction de la variabIeconiplexez= a: + iy ce que devient la fonction
définie pour les valeurs réelles de x et de y et pour une valeur quelconque de la constante a, lorsqu'on donne à celte constante la valeur particulière t.
100. Il est facile d’obtenir la condition pour qu’une fonction F{x,y) des variables indépendantes x,ij puisse être considérée comme une fonction du binême x + oty. Si Ton pose, en effet,
on aura
0/ix,y) = f’{x-i-«y),
D^F{x,y) = af'{x + «y) .
Donc
D/(a:,yj = — D f(x,y) ,
condition nécessaire, qui, pour a = t, se change dans l’équation (1).
Réciproquement, cette condition est suffisante; car, si elle est satisfaite, alors on aura
d’où
dF ix,y) — {x , y). dx+ D^F(x ,y).dy = D/(x,y) {dx + «dy),
dF (x , y) dfx-hay)
quantité indépendante du rapport et que l’on peut représenter par f'{x + «y), comme on le verrait par un raisonnement connu. Donc
dF{x,y) = df{x + ay),
et par suite F{x , y) ne dépend que du binôme x+ ay, et ne change pas si x et y varient d’une manière quelconque, tant que ^ la valeur de ce binôme reste invariable.
Si l'on suppose maintenant a = t , on retrouve la condition (1) du n” 08, laquelle est ainsi la condition nécessaire et suffisante iwur qu’une fonction de deux variables F (x , y) puisse être considérée comme une fonction du binôme i = x -t- ly.
TIIËORIIi: P:LËMENTAinE
101. On peut aisément vérifier en même temps que cette condition exprime que F (x , y) a une dérivée déterminée par rapport à z = a: + iy. En effet, cette relation est nécessaire et suffisante pour que le rapport
dy
dF{x,y) dz
• ■ dy
dx
soit indépendant de •
Donc l’équation aux dérivées partielles
exprime la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction F(t , y) des deux variables indé[)endantes réelles x , y puisse être traitée, d’après les règles de l’Analyse des quantités réelles, connue une fonction de la seule variable complexe : = a:-t- iy , et, en particulier, pour qu’elle jouisse de la propriété fondamentale des fonctions d’une seule variable, d’avoir, par ra[)port à cette variable, une dérivée détertninée, indépendante du mode d’accroissement de cette variable (‘).
