Séparons maintenant, dans la fonction

w.-f{z) = f{x+iy), le réel de l’imaginaire, et posons

. w — H a- If.

(') Cauchy n'admettait pas cette restriction dans la ddlinition d'une runctinn d'une variable complexe, et il appelait fonctions niomiÿciics celles qui satisfont à la définition re.streinte. Mais comme tous ses théorèmes s'appliquent exclusivement aux fonctions monogènes, les autres fonctions ne jouissant que des propriétés générales des fonctions de deux variables indépendantes, et leur calcul ne pouvant se ramener à celui des fonctions d'une seule variable, il vaut mieux, à l'exemple de IIismasn, exclure tout d'abord de nos recherches les fonctions non monogènes, et réserver aux seules fonctions monogènes le nom de fondions de la variable complexe x-t- iy. On évite ainsi li répétition inutile d'un mot qui reviendrait invariablement dans chaque énoncé.

L’équation (1) deviendra alors

D^(m + iu) = -L + if) , on

Du — Du + I (D r + D « ) = 0 .

Cette équation se partage en deux autres,

(2) D tt = D f’ , D U = — D r ,

qui expriment les conditions auxquelles doivent satisfaire les onctions H , V des variables indépendantes x , y, pour que « + iv puisse être considéré comme une fonction du binôme x + iy , jouissant de la propriété fondamentale des fonctions d’une seule variable.

10.3. On verrait de môme, en introduisant les coordonnées polaires au lieu des coordonnées rectangulaires x,y, que la condition nécessaire et suflisante pour que l’expression

(/{ et P étant des fonctions réelles de r et de p), soit une fonction de

ip

Z = re\

est que l’on ait

D IP + -- D 10 = 0 , r r P ’

équation qui se partage en deux autres.

r.Dfl = H.Df^, r/t.Di’= — Dfl.

1 04. On peut vérifier effectivement, sur des exemples très simples, qu’une fonction de x et de y, qui ne satisfait pas aux relations (1) ou (2), n’a pas de dérivée par rapport à z, indépendante de l’argument de dz.

Soit, par exemple.

w ~ u + iv ~ X — iy , qui ne satisfait pas à la relation (1).

On a, en posant dz = ç.é ’^ ,

dw

dz dx + idy quantité qui dépend de ip

dx—idy

dx + idy ~ iÿ ~ * ’

fe

105. Si l’on différentie les équations (2) par rapport à a: et à y, on en tire, en éliminant tour à tour v et m, les équations

Donc les deux fonctions v et v ne peuvent ni l’une ni l’autre être choisies arbitrairement. Elles doivent satisfaire toutes les deux à équation aux dérivées partielles du second ordre

D,i«' + dV = 0.