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comme nous l’avions déjà trouvé.

235, III. Prenons pour aire 21 le rectangle parallèle aux axes {(ig. 37), dont les côtés ont pour équations res|iectives

Les formules (1) et (3) deviendront

f + f' (*'v.,- <ly = \,

v'if.

(7) J [f{x+iy,)—/lx-i-iY)]dx i il [f{\+ iy)—f{x,+ iy)]dy

Si nous considérons finlégrale double /•■V .1'

/ / 7-’(.r,y) (/xdy,

elle aura pour expression soit

soit

f [D^ F(X , y) — 1), F(>, , y)] ily ,

suivant que l'on commencera à intégrer par rapport à y ou par rapport à a; ; ou, ce qui revient au même, suivant que l’on intégrera le long du contour du rectangle BACD, en passant soit par le chemin BDC, soit par le chemin BAC. Ces deux chemins conduisent au même résultat, si les fonctions D^F(x, y), D^F(.r,y) sont uniformes et continues dans tout fintéricur du rectangle. Dans le cas contraire, ils conduisent à des résultats dont pas nulle, et cette différence ne sera autre de la fonction

\),F{.v,y)(lx + D^F(x,y)(/y,

prise le long du contour total du rectangle BACD. On a alors la formule (6), en supposant

C’est pour cette raison que Cauchy a désigné l’emploi de la formule (5) sous le nom de Méthode fondée sur la di/férmcc des valeurs que pretid une intégrale double, quand on intervertit l’ordre des intégrations.

âS6. La formule (6) se simplifie dans le cas où les intégrales prises le long de trois des côtés du rectangle s’annulent lorsque ces côtés s’en vont à l’infini, c’est-à-dire lorsqu’on a

pour

x, = — oc ,

K = + oc .

Fig. 37.

la différence ne sera chose que l’intégrale

TMÈÜKIK ftLÉMEXTAlUË

’iOO

ür I Ux^ydx = {X — x„) X une moyenne de Tour

f]iic celte quantité s’annule lorsque A' — devient infini, il faut que y prenne pour F = oo , une valeur infiniment petite d’un ordre supérieur à l’unitc. Il en sera de même pour les autres intégrales. Donc on pourra énoncer les conditions précédentes en disant que les fonctions

doivent être, quels que soient x ou i/, infiniment petites d’ordre supérieur à l’unité (’).

(’j Cauchy pose siiiiplomont pour comlitions ip'e les fondions

^ s'annulent. Il nous semhle <iuo ces comlitions sont insuflisantes. Kii cfl'et, elles sont remplies par la fonction

x + lÿ l+ix+iy)>

qui est infiniment petite <lu l" ordre pour toute valeur inllnic de runo des variables x, y. Or, l'intégrale de cette fonction prise par rapport à x, en su])posant

Xo — — , A Où*. 1 h bt I

a pour valeur

«M (x + i6o))(ix

J w t -t-(x-t-iÿ)*

log

1 4 - (— I 4- ibfbi

quantité dont la limite, pour ,j = » , est

T'“8rTT76’

et cette valeur n'est pas nulle, mais indéterminée.

Au contraire, si l'on traite de même 1a fonction

1 4-(X4-iy)’

qui est infiniment petite du second ordre, on trouve pour résultat

arc lang — — - >

qui a pour limite arc tang (0) on zéro.

I>ES OliAXTITÊS COMPI.EXES.

Si CCS conditions sont satisfaites, la formule (6) deviendra

De môme, si les valeurs

/{x+i.oo) , /■(±oo-t-iy)

sont, pour toute valeur de x ou de y, infiniment petites d’ordre supérieur au premier, on aura, au lieu de (7), la formule plus simple

(9) • /' f{x + iy,)(lx = ^,

qui n'est autre chose que ce que devient la formule (5) du n® 231 pour »/, = 0. Il est aisé de voir, en effet, que les conditions préciklentes se réduisent à celle du n° 231 .

237. On peut mettre la formule (6) sous une forme plus commode, qui exprime que Udx+ Vdy est bien une différentielle exacte. Pour cela, tv étant une fonction donnée de x et de y, et F{w) une fonction quelconque de w, il suffira do poser

La formule (6) deviendra alors

Pour donner une application de cetle formule, supposons

it! = (fl -h I y) X ;

Il étant > 0, et faisons

Si l’on admet que F{u>) soit infiniment petit d’ordre supérieur au premier pour x = oo, l’équation se réduira à

« I F{ax)dx — (a 4- ib) I F\(a+ ib)x'\dx =

THÉORIE ÉLÉHENTAIHE

Soit, par exemple,

n étant réel et positif. Un a alors A= 0, et F(M')est infiniment fictit d’ordre > 1 pour x =■ + <x. La formule précédente devient donc

Donc la formule