Soit encore l’intégrale

En faisant z = Re’’’ , h fonction f{z) devient

— Retint* fi ^

i fi cos P

ia — Re^

et pour toutes les valeurs de p comprises entre 0 et x, cette quantité est infiniment petite d'ordre infini, lorsqu’on fait R = oo. Il reste à examiner ce que devient fintégrale ijf{Rc>^) Re''dp pour

les valeurs de p très voisines de 0 ou de -, c’est-à-dire, à trouver la limite de l’expression

I p-Rsinp/l

. 'o V . ,, ip

'la — Re

rfl cosp l'a 4-

Si l’on fait abstraction du facteur e“ l’expression sous le signe f (leut se mettre sous la forme (P i iQ) cos pdp, P el Q étant des fonctions de p, qui ne deviennent pas infinies avec R, et cosji restant voisin de funité. Donc l’intégrale proposée revient à

e cos ptlp . (/' 4- » Q) ,

expression dont la valeur e.st égale à la quantité

cos pllp

,, — Rslnt^

multipliée par une valeur moyenne de la fonction P l iQ, c’està-dire par une quantité finie. Donc l’intégrale s’annule pour R infini, et la formule (5) est applicable.

IIES QUANTITÉS COMPLKXES. 197

Pour a >0, la fonction a, au-dessus de l’axe des x, l’infini Z = ta, auquel correspond le résidu

^ ta

ta — Z

Donc, pour « > 0,

/ — — dx = — izie-‘ .

J-x la—x

Si l’on change ü en — a, la fonction n’aura plus d’infini au-dessus de l’axe des x, et l'on aura A = 0, d’oii

ilx = 0 .

/—X ta +x

En combinant ces intégrales par addition et soustraction ,et séparant le réel de fimaginaire, on en tire facilement les deux formules cos X , Ke~"

s\nx , ne dx =

fl'-f-ir’ "" 2 ’

Celle dernière donne, en faisant tendre a vers zéro, sin X

dx = ■

FiK. 3fi.

234. Si la fonction f{z) a un infini en un point de Taxe des .r, à l’origine î = 0 par exemple, l’axe des x faisant partie du contour, nous changerons alors la forme de ce contour, afin d’éviter le point 0, en décrivant autour de ce jwint un demicercle de rayon infiniment petit r, et prenant [lour aire l’espace compris entre les deux demi-cercles. On aura alors

la formule

— if f (re''’)re djt = A • "'o

TIlftOniE ÉLÉMENTAiriK

Si la dernière intégrale (' f(rc‘P) re'P tlp tend vers zéro en même

leinps que r, on se trouve alors dans le cas du n® 231, et si l’intégrale prise le long du demi-cercle extérieur s’évanouit pour /î = oc , on pourra appliquer la formule (5). Si la dernière intégrale tend vers une limite finie et déterminée, on joindra sa valeur, prise en signe contraire, à la valeur de A- Soit, par exemple, la fonction

On a

En développant c'"'’ en série, et faisant r ^ 0, on voit que celte intégrale a pour valeur z. On en conclut alors, en raisonnant comme au numéro précédent.

c’est-à-dire,