Soit F(z) = une fonction rationnelle dont le degré

du numérateur est inférieur de deux unités au moins à celui du dénominateur. Supposons que l’équation y {z) = 0 n’ait pas de racines réelles ou multiples, et soient c, , c,, . . . les racines complexes qui ont leur partie imaginaire positive. En appliquant à celte fonction la formule (5), il viendra

DES QUANTITÉS CUMI>I.ËXES.

dx = in i

le signe 2 s’étendant à tous les infinis c situés au-dessus de l’axe des X, et , C,, ... étant les numérateurs de celles des fractions simples dans lesquelles se décompose la fonction donnée, qui correspondent ^ ces infinis.

Si y (z) — 0 n’a aucune racine au dessous de l’axe des x, il est facile de voir que iC doit être nul, si le degré de ^(:) est inférieur de 2 unités à celui de y {t). On a dans ce cas^

- dx = 0.

Soit, par exemple, la fonction , le degré de }(z) étant

moindre que l'unité. On a le seul infini z — i, et l’on trouve

En particulier, si l’on prend

doù

on a

ou, à cause de t = e * ,

f“x^-'dx

2sin-!^

Celle formule se ramène facilement à celle que nous avons trouvée par une autre voie au n° 232.

239. Prenons pour contour le périmètre d’un triangle rectangle

Î04 THÉUHIE f;i.KMEMAIHE

ABC, dont les sommets aient pour coordonnées rcsixiclives (x, ,ÿ,), (•V, y,), (A’, 1). On aura