J(AB)+J(BC) -J(AC)=A
Kn prenant, pour plus de simplicité x, — y, — ü, on aura, en chaque point de AC,
y = ax.
d’où
(ly = a d r , }' =; a X ,
et l’un a, au lieu de la formule du n“ 238,
Si l’un fait w -- x + iy, cette formule devient
I Fix'jdx h ia I F(X-i iay)ily— I ^[(1 -t /«).cj(l ^ ù/jrf.r
• Il Jo l'o
Soit, par exemple, la fonction f{i) — e qui est finie pour toute valeur de x, si l’on prend
Donc A — 0, et l’on a
r[e-^' + mr-'-' ^ /X -(1 + ia) f = 0.
Si l’on fait maintenant A' = x- , comme on a, pour x = <A',
et que ia seconde intégrale a toujours une valeur finie, la première est nulle pour X — <x, . Il R'atc donc, à cause de
P Vie
ia) I
• /ft
nKS OI'ANTITÉS COXPLF.XF.S. '205
d’où, en séparant le réel de l’imaginaire,
nos (2 a.r’) àx
sin {iax')(lx
2 (1 -F- fl') ■
240 . Soit &(;) une fonction rationnelle de z. D’après ce que nous avons vu (n” 213 et suiv.), la différence
est une fonction continue dans toute l’étendue de l’aire 21.
Si l’on désigne par f(:) une autre fonction uniforme et continue dans l’aire 3, le produit de cette fonction par la différence précédente sera aussi une fonction uniforme et continue, et Ton aura par conséquent
f t( 2) f(2) dz= f l f (2) dz,
ou, en mettant pour le résidu sa valeur
que nous désignerons simplement par
le signe de sommation s’étendant aux divers infinis de 9(2), ainsi qu’aux divers termes dont se compose le résidu relatif à chaque infini. Le second membre n’est autre que la valeur de A.
THÉORIE Él.fcNENTAlHF.
Si l’on suppose, par exemple,
f(:) = pour f* > 0,
celle fonclion sera uniforme cl continue dans toute la moitié supérieure du plan. Soit c — a ibun infini de ^(:), ôétant positif. Ün a
On verrait, comme au n" 2.-Î3, que l’intégrale s’évanouit pour un module de z infini. On aura donc
y*" e'‘^fix)dx C'*' e''- .
formule vraie pour toute fonction ratiohnelle o(.c) qui ne devient infinie pour aucune valeur réelle de x.
241. Soit w une fonction de z, et <f(w) une fonction de te qui devient infinie pour les valeurs
— 7i J Vi > • • • J V« !
correspondantes à des valeurs de z contenues dans l’aire 21, et soient
les ordres respectifs de ces infinis.
Soit, de plus, f(;) une fonction de z qui ait pour infinis dans l’aire 21 les points
» — c, , c, , . . . , e„ , ayant pour ordres respectifs
Posons, comme précédemment,
DES UEAMlTftS COMPLEXES.
et de même, en considérant w comme la variable indépendante et Ç comme’ prenant les valeurs ç = y , , y, , . . . ,
Nous aurons alors
r r rc“’ »(«’)</; .
(2-C) dz
Si nous posons maintenant
f (z) iz — x (w) > 0“ Z (w) = f (-) ’
la première somme deviendra
Si nous faisons ensuite
f{tv) = (z) ,
la seconde somme deviendra
Donc
vf
Je (,Z — C)
dz ,
i 7tl i
J\ (. 0 ) f (Z) dz = 2 «• [ (^)T- + - (A-1)! J’
Exemples. Soit f(z) = • En prenant toujours pour 21 la
moitié supérieure du plan, on a
C = lim
La seconde somme devient donc
