Au lieu de développer le produit TT (a, — (3*) en une

suite de fonctions rationnelles , entières et symétriques des racines de Tune des équations données, et d'exprimer ces fonctions au moyen des coefficients de cette même équation, on peut parvenir plus simplement à la résultante des équations données, en éliminant l'inconnue x entre ces équations.

L'équation R = o , obtenue par l'élimination de x entre f[x) = o et <f (x) = o, est la résultante de ces équations {œquatio finalis genuina) , lorsque R est une fonction rationnelle et entière, du degré m, des quantités indépendantes entre elles

— i I"'"*' HT"'

H Un O n

et une fonction rationnelle et entière, du degré n, des quantités indépendantes entre elles

(*) Euler, loc. cit. — Voir Cadchy, Exercices d'Analyse, iS/Jo, p. 4<K>-

Car, pour chaque système de valeurs des coefficients a ,

a t \ 9 . . . , 4 , i, , . . . , faisant évanouir JJ (a, — (3j),y(.r)=o

«V* et 9 (x) = o ont une racine commune a r , dont l'élimination entre les équations /(« r ) = o et <f (a r ) = o a

fourni F équation R= 05 c'est-à-dire que, si TT(«/ — (3*)

s'annule, R s'annule également. Or ces quantités sont, d'après (a) et les hypothèses précédentes, des fonctions rationnelles et entières, du même degré, de -A ~, . . . , ainsi

an b n

que —,—,... Elles ne peuvent donc différer que par un

facteur indépendant des quotients en question. • Si au contraire , dans l'équation R = o qui résulte de l'élimination des x entre/ 1 (x) = o et y (x) = o , R est une fonction des quantités en question d'un degré différent de celui que nous avons indiqué, cette fonction contiendra alors un facteur étranger, dont l'annulation n'entraîne pas l'existence d'une racine commune aux équations données , ou bien cette fonction s'annulera identiquement.

4. Pour obtenir, par l'élimination de x entre les équations f(x) = o et <p (x) = o, la résultante de ces équations, Euler (*) et Bezout (**) ont trouvé en même temps une méthode applicable à tous les cas, et qui a été récemment reprise par Sylvester (***) et par Hesse (****). On

(* ) Histoire de l'Académie de Berlin, 1 76/j, p. 96. (** ) Histoire de l'Académie de Paris, 1764» p. 298.

(***) Philosophical Magazine, 1840, n° 101. — Voir Richelot, Journal de Crelle, t. XXI, p. aafl.

(****) Journal de Crelle, t. XXVII, p. 1.

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. 8l

forme pour cela les identités

xf(x) = ûr a? -f- *, o:' -+- "..*... ,

x*f{x)~ rt x a -h : '. :' ,

x"- l f(x)= atx*-* -+-. . ,+ 0^^,

? (jc)=r^ -4-ô,a?-|- b 7 x 7 -\-

xy(x)=z b*x -f- b t x 2 -+- ,

En désignant par R le déterminant de degré ' m 4- ftjhy dont les éléments sont, pour les n premières lignes hof/fanl zontales ,

«o «t **2. • «fll o o. ...... .

et pour les m lignes horizontales suivantes,

en désignant de plus par y,i,A i le coefficient du h ième élément de la i iime ligne horizontale de R, on a (§ IX, 1),

R^=( 7o , I -f-7,, | .^-4-...-f-7n~«,/- rn ~ , )/(^)

Si l'on pose maintenant^ (jç) = o et ç(.r) = o, R = o sera

la résultante du système précédent d'équations (§ IX, 3).

Or le déterminant R, divisé par a R m A" (§111,2), est une

fonction rationnelle et entière du degré n par rapport

à — > —>•••> et du degré m par rapport à ~> tV-*> et <*m a m or rr ^ ^

les facteurs a m , £„ sont supposés, dans la formation deR,

ne pas s'annuler $ par conséquent (3) l'équation R = o est

la résultante des équations f(x) = o et <j> (x) = o.

'*" 5. De la manière que Ton vient d'indiquer, on n'obtient g$s la résultante des équations données sous la forme la jttAs simple, parce qu'une grande partie des éléments du , déterminant de degré m H- n s'évanouissent. Le procédé ;" > à élimination conduisant à la simplification désirée, et employé par Bezout dans le Mémoire cité (p. 317), a été, dans ces derniers temps, repris et éclairci par Jacobi (*) et par Caucby (**). Des équations données, que l'on suppose d'abord être toutes les deux des équations de degré «, on peut déduire n équations du degré n — 1 , d'où Ton conclut ensuite, par la formation d'un déterminant de degré n, la résultante des équations données. A cause de

F(*) = fl -h«,j?+. . .-+- a r * r -h(a,:+ l -+-a r + 2 a: + . . . + *,,**-■"-•) a-* 1 , f (*) = b + b x x -h . . . -+- b r x r -4- (* r+1 -h b r +,x -+-. . . + b^-^x^,

la quantité

(b r + t -h ^.r-K • • 4- ^,.r" " r -')F (.r) — (a r+l + <i, +t *-f-. . . -h «„*«-'-» ) f (x) =r (««-f a t x+. . .-^ra r x r )(b r ^-+- b r+i x+. . . H- £„.*"-*-»)

sera une fonction de .r du degré n — 1 , que nous désignées Journal de Crclle, t. XV, p. 101 .

(**) Exercices d'Analyse, 1840, p. 393.

A PPLIC kTlàtiFmF DETERMINANTS .

rons par u r . Du système des identités

Oi-m -h <V-u* +. • • -h c„i ,„,.*"- ' = **„, , on tire (§ IX, 1)

Rx 1 — u t 7i (l -+«i7i.i + - • .H-«,.-i7/^,i> en supposant

et en désignant par y ifk le coefficient de c itl dans R. Si Ton a maintenant

F(*)=o, ? W = o, il en résulte

et par suite R = o sera la résultante de ces dernières équations. Or les éléments c ifk sont des fonctions linéaires tant de a , a x , . . . , que de b , ft, , , . . , d'où il suit que le déterminant R.est une fonction du degré n des mêmes quantités; donc R = o est la résultante des équations données

6. L'élément c ryjr du déterminant R est le coefficient de x 1 dans u r . Or on a

84 SECONDE *Rtyl!l 9 1 *- § XI >

en supposant successivement

z = 0,i,...,r, et * = r+i,r + 2 ) .. l ,n.

En ajoutant la condition

et faisant, pour abréger,

d it i t z=a i bk — akbij on aura

Pour r> s, les r — -s derniers de ces termes s'évanouissent identiquement, savoir

puisqu'on a

<*/,*= — rf* f i et d iti = o.

Par suite on a

Pour r -(-*•+- i>w, les r-f-$-f- r — n premiers termes s'évanouissent, parce que, d'après ce qu'on a supposé sur le tfaçré des équations,

doivent être considérés comme nuls.

La somme des r — i premiers termes de c r> , est identique avec c r 1>/+1 -, on a par conséquent la formule

c r,$ == c r— l,j-H *+" «r,j-M ( Jj

pour le calcul successif des éléments de R.

(*) Jacobi, loc. cit., p. 102.

(**) Jacobi, loc. cit., p. u/|.

APPLICATIONS DBS DÉTER1ÉIWÀJNTS. 8S

Exemples. — Pour trouver la résultante des équations

on formera

er Ton obtiendra

d 9 ,i d 0/i d 9j2 di t2

Pour trouver la résultante des équations

o ^= «o-f- <* { x -h « 2 a? 1 -f- «3 a? 3 , o = ^0 -f- h , a? H- ft 2 x 2 -+- fr 3 .r 3 ,

on formera

Pour obtenir la résultante des équations

o = a -h «i x 4- a aX 1 -f- # 3 «z 3 -h a k x% o = & -+- £1 # -h £ 2 #* + ^3 * 3 -H frt £ 4 j. on formera

c o,i = «'o,2, c IJ =</ 0f3 -f-rt T , f2 ,

mfann*