L'intégration de l'équation linéaire de l'ordre

(i) a = a y + a i y' + ...-ha n yl n '>,

a> a , a i9 . . , étant indépendants dey,/',. . . , se réduit à l'intégration d'une équation linéaire de l'ordre n — m, lorsque l'on connaît m intégrales particulières de l'équa-

( * ) Abel {Journal de d'elle, t. II, p. 22) a établi cette relation pour n = j. La formule générale a été attribuée a Liou ville par Tissot (Journal de Liomillr, t. XVII, p. 178).

tion différentielle linéaire plus simple de Tordre n 9

Lagrange (Miscell. Taur., t. III, p. 179) a énoncé ce théorème en 1764, et a montré la possibilité de la réduction. Cette réduction a été traitée par d'Alembert (loc. cit., p. 38 1) dans une note très-courte, et la méthode exposée dans cette note est identique au fond avec celle du Mémoire de Libri sur le même sujet (Journal de Crelle, t . X, p. 1 85) . Après que Malmstén (Journal de Crelle 9 1. XXXIX, p. 91) eut fait voir, à l'aide des déterminants, comment l'intégrale générale de l'équation (a) peut se déduire de n — 1 intégrales particulières de cette équation, Joachimsthal a traité aussi (Journal de Crelle, t. XL, p. 48) la réduction de l'équation différentielle linéaire plus générale (1) d'une manière analogue, au moyen de m intégrales particulières données de l'équation (2). La méthode employée pour cet objet avait déjà été en grande partie indiquée par Lagrange, qui, dans un Mémoire postérieur (Mémoires de Berlin, 1775, p. 190), a représenté l'intégrale générale de l'équation (1) au moyen de n intégrales particulières de l'équation (2).

En désignant par y une fonction de x, et par J"t 9 Jt > • • • 9 y m les intégrales particulières données de l'équation (2), on peut déterminer un pareil nombre de fonctions de #, que nous désignerons par b i9 b t , . . . , b m , par la résolution d'une équation différentielle linéaire générale d'ordre n — m, et par m quadratures, de telle sorte que

soit l'intégrale générale de l'équation (1). En effet, en poîant

dot -• r ''*' dx -*''"

y 2 SECONDE PARTIE, § X.

on a

y f = £./.,« 4-... 4- £,„/*,., y" = b,jr ltt -+-... 4- b m y n/i ,

jC"-') = b t jr i>m -. { 4- . . . -f- b m j w , TO , , en posant

£|,t7i +••- "H ^/fi..//n = o ?

£i,iJm -4-. • .4- £«,i.r«,,i =o,

Mais, d'après les conditions que l'on a posées, les rapports

£.,t : b 2fl : . . .

sont déjà déterminés (§ IX, 3) ; on a de plus

y{")=b x y Xtm + . . .4- &*/*,,* 4- s, en posant

0|,i y\,m—\ 4~ • • : "+" Dm,iym,m—\ -— * j

qui est une fonction déterminée de x. On a de même

en posant

, # dz

puis

jtC-h-») = b x ,y hm + 2 -+- . . . -f- ^.Timm-, -h 3"+ 2.,, 4- * 2 ,

en posant

, dz x

etc. 5 et enfin

y(") = b t y ttn + . . .4- ^.r»,» H- *C— ") + «,,„, -f-. • •

en posant

0j,i JKi,/i— » 4" • • • 4" Um t \ym t n—i -—- z n—m*

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. ji

En multipliant ces équations respectivement par a 0f a i? . . . , et, ajoutant les produits, on trouve, en vertu des suppositions faites sur y, , y t , . . . , y m >

H- #«+2 *2 H- ... H- «n Za,n-oi-2

pour la condition en vertu de laquelle

sera une intégrale de l'équation (i).

Or, en résolvant le système d'équations

^i ) Ji,m-j + . • • H" £«,iJm,m-2 =0»

^i,ri,»-i + . • ."h ^.Jin^-i = *>

on trouve

*i,i Rm— >!/>-. Z, *i= 1 R «**»

en posant

Ji J 2 ... /m

^1,1»— 1 ^2,111-1 • • 'Xm.m—t

et désignant par

dR„

le coefficient de yv, m i dans R, rt . Les fonctions ô, , ô, , . . , , , b, n seront ainsi déterminées par des quadratures, après que Ton aura trouvé z. Pour débarrasser maintenant des quantités h l9 £*,... l'équation qui détermine z, remarquons que

l'on a

z t = bi,\ y Km -+-... -f- b mA y mtM

= (»!,•-■ Ji,«i -f- . . . -+- u M , .r„) ^- = <\ c .

= (*»■,•-• Ji^h-i -h . - - -f- D«,«- Ia r.^. ) 5- == c * z >

(»i,«— i /i,»— I "H • - • •+" *m,m-\ ym,*-\) ^T — c »-m *>

c t9 c, ,..., <?„„, étant, par suite, des fonctions données de x. On en tire par différentiation, en se servant d'une notation analogue ,

z i,i == c i,\Z ~\~ Ci* 9

Z#,* = C it2 Z -f- 2C/,, z' -+- CiZ" 9

z itZ = c iti z -t- 3c ii7 z' H- 3c,,,z"-+- C/5*,

etc

On a par conséquent

-+■ a m+t j c { z -Hz' |

Ci ; |Z + f,:' H-z"

pour F équation linéaire d'ordre n — ma laquelle doit satisfaire la fonction z. Ayant trouvé la valeur de s, on peut calculer ensuite , par son moyen , les fonctions b t , i, , . . . , b m> de telle sorte que

soit une intégrale de l'équation (i). Les intégrales particulières^, j^i,. • •> J m étant supposées habituellement ne contenir aucune constante indéterminée, comme d'ailleurs l'intégrale générale z de l'équation linéaire d'ordre n — m que l'on vient de trouver, renferme n — m constantes arbitraires, et que les quadratures , dans le calcul de b x , b % , . . . , b mJ introduisent m autres constantes arbitraires : l'intégrale trouvée pour l'équation (i) contiendra le nombre voulu de constantes arbitraires, et ce sera par conséquent l'intégrale générale de l'équation (i).

4. L'équation différentielle linéaire qu'il reste à résoudre pour l'intégration de l'équation différentielle donnée , n'est pas résoluble en général, lorsqu'elle dépasse le premier ordre. Il y a donc à considérer en particulier les cas où l'on a m = /i etw = n — i.

Pour m == n , on a

a =a n z 7 o,-,iR b = -~ï),-,„-i, 0, = I — tfr,

et par suite l'intégrale générale de l'équation (i^est

"+- Xn I =T- *n,n-i dx ,

comme Lagrange et Joachimsthal l'ont remarqué (/. c). Pour m~n — 1 , on a

y 6 SECOJNDK PARTIE, § X.

Orona(§IlI, 10)

« — . . — elRn ' t .

par conséquent

û R„, = <*„, R„,3 -+• rt„ ■

Pour la résolution de cette équation, on a besoin d'une intégrale particulière u, de l'équation

o = «„, u + fl»a, savoir,

En représentant l'intégrale générale qu'il faut d'abord cher* cher, par

ce qui donne, d'après la notation admise ,

(R„,z)' = w.,,0, -+- a,»>,,i, on a , à cause de a„ 4 1/, -h « n i/ m = o (par hypothèse),

«R«i==fl„a,Ci,i, o. = I </.r,

» AiR«i ,

R„,z = «, I dk,

avec une constante arbitraire. On a enfin, pour déterminer bi ,

chacune de ces quantités amenant avec elle une constante arbitraire , de sorte que

est l'intégrale générale de l'équation (i), comme Ta remarqué Joachimsthal (/. c). Le cas particulier de a = o, pour lequel p t lui-même se change en une constante arbitraire, avait été déjà semblablement traité par Malmstén (7. c).

§ XL — Résultante de deux équations algébriques. i. Soient

Les deux équations

données pour la détermination de x, seront compatibles si une racine au moins de la première équation coïncide avec une racine de la seconde. En désignant les racines de la première équation par « t , a, , . . . , a m , et les racines de la seconde équation par (3 t , j3, , . . . , (3 B ; en désignant, de plus,

par TT (««• — (3*) le produit de toutes les différences entre

les racines de la première équation et les racines de la seconde , lesquelles différences se forment de a, — /3 A , en faisant successivement * = i, a,. . ., m, et # = i, 2,. . . t n, alors , . , • '

i,k sera la condition nécessaire et suffisante pour la compati-

bilité des équations données (*), et s'appellera la résultante de ces équations (§ IX, 3).

2. Si les racines a l9 g l9 . . . , a m , ainsi que (3 l9 j3 a , . . . , J3 n r

sont toutes différentes entre elles, le produit TT (a, — (3*)

«,* sera une fonction rationnelle et entière, du degré m, des quantités

et aussi une fonction rationnelle et entière , du degré n , des quantités

et par suite aussi une fonction rationnelle, entière et symétrique des racines de 9 (x) = o, ainsi que des racines de /(x) = o, et Ton sait que cette fonction peut se transformer en une fonction rationnelle et entière des coefficients àef(x) et de <p (x) (**). Car, de l'identité

? (*) = M*-rM(*-M...(*-M

on tire

(«,• - P.) («.— fc). . .(«,- p.) = îM, et par suite

(*) Euler, Histoire de V Académie de Berlin, 1748, p. 234. (**) Euler, loc.cit.

On a de même

l,ft

d'où résultent immédiatement les propositions énoncées cidessus.