R = o étant la résultante des équations

F(x) = o et <p(x)=3=o,

et y ryS désignant toujours le coefficient de c r> , dans R , du système des équations . t * r

il résulte, pour la racine commune x des équations

F(*) = o et ? (*) = o r la proportion (§ IX, 3)

i : x : x 1 : ... : x n ~ l = y it9 : 7,,, : 7,,, : ... : 7/, /1 , - ,,

1 étant un quelconque des indices o, 1,. ., n — 1. Donc la racine commune des équations données, si toutefois il en existe une, est une fonction rationnelle des coefficients qui entrent dans les équations.

Des proportions

x*:j*z=y itt :yi, t%

X , X =rr y t j , y i;F y

APPLICATIONS DES DÉJSBMlflÂJSTS. 87

et de l'identité y SyT = y r>x (§ III, 9 ), il résulte qu'an a

d'où il s'ensuit; d'une part, que y iyh ne change pas lorsque i H- k reste le même, et que l'on peut substituer les quantités y i>k9 7,i,* +1 ,... indifféremment au lien de y iyk ; d'autre part, que l'on peut prolonger la proportion précédente jusqu'à la puissance in — 2 de X f de sorte que

Les quantités y , y x , . . . , y% n+ % forment donc une pro^ gression géométrique, dont ta raison est la racine commune aux équations F (x) == o et 9 (x) = 0. De là on déduit les relations

' y ,- = 7 X 1 , 7* = 70 X* , <f i+k = 7o xi+ k ,

et par suite les identités

ddnt la dernière s'accorde avec le § VIIj 4.

8. Lorsque/ (x) est de degré inférieur à y (a?), par exemple, lorsque f(x) est du degré m, et <f{x) du degré /i=m-hp, la résultante des équations < / , (x)=o, y (a?)=^o peut se déduire de celle des équations

xPf(x)=zo, y(ar) = o.

En effet, l'équation x p f (x) = o, outre les racines a t , a t j . . . , a m , a encore p racines nulles ; par conséquent (2)

7^j[?(o)] i, ?(«i)?(^)--'?( a *) = vN

(*) Jacobi, loc. cilr., p. 106.

est la résultante des équations x F J(x) = o et cp(^r) = o, tandis que

est la résultante des équations données f(x)=o et q>(x)=o. Si Ton a donc trouvé, par la méthode de Itezout (5), la résultante R = o des premières équations, on aura

pour la résultante des dernières équations données.

Dans ce cas, on peut démontrer que R est divisible

par 6J(*), à l'aide de la proposition (§ VI, 4) d'après laquelle on a

go,o * • • £•*«— «

gn—i,o • • • £/i— i,n— I

lorsque, pour r = o, i, . . .,/>— i, on a

Cr,# ==/r,o £',© "K/r,t éft.i "+" • • • -\~fr,p-i gs,p-i >

et pour r = p , p -H i ,

Pour identifier la fonction F(x) de l'art. 5 avec la fonction x ff f(x) que nous avons à considérer ici, il faut poser

a t = o, a t = o , . . . , ûp—i = o.

On a, d'après cela, pour / == o, i , ,..,/? — i (6) ,

c r## = — a t+i b r — a s+2 b M — . . . — tfr+*+i &••

(*) Rosemiain, Journal de Crellc, t. XXVIII, p. 268.

En posant, pour ces valeurs de r,

fr,i = br—i , gs.i = a s+l+i >

il vient

fr,9 gs>* 4-/r,i £*,!•+-... +fr.p-\ £',/>-! = <**,'>

/r,r+i ?/r,r+i> • • • devant être considérés comme nuls. En posant, pour les autres valeurs de r, .."••»

on a effectivement

y/»— 1,0 • • • Jp—\>p—\

go,o

gn—l,Q • • • gn— \,n— l

— b p x—rb p ^ — b p z . . . — b

: p,ù C 7»,i •• Cp,n-—i

Le premier de ces déterminants est égal à ( — b )P (§ II, 7) 5 F autre est le déterminant des coefficients des n fonctions suivantes, de degré n — 1 ,

xP- l f(x), &-*/ (*),.. ./(*), u n

les* dernières de ces fonctions devant être formées d'après la règle donnée dans Part. 5. Donc la résultante cherchée des équations f (x) = o et ç (x) = o est identique avec la résultante des équations

Remarque. — En formant, d'après Bezout (/. c, p. 323), au in£>yen de x p f(x) et do <p(.x*), comme dans (5), les

90 SECOJNDE PARTIE, § XI.

fonctions u 09 u t , . . . , u m ^ , de degré n — 1 ; en exprimant ensuite, à l'aide des équations

/(a?) = o, */(*) = o, ..., xff{x) = o,

les quantités x™, a?" 4 * 1 , . . .^x"" 1 sous forme de fonctions de degré m — 1 , et réduisant par là les fonctions u ù7 u u . . . , u m ^ x au degré m — 1 5 la résultante des équations

sera bien du degré m par rapport aux coefficients de f (x) ; mais elle ne sera pas en général du degré n par rapport aux coefficients def(x) 5 par conséquent elle sera généralement différente de la résultante des équations

/(x) = o et <p (x) = o.

9. Euler a montré, à la fin du Mémoire que nous avons cité plus haut (*) , comment on peut trouver les conditions pour que deux équations données, f(x) = o et <p (x) =0, aient deux ou plusieurs racines communes. Les éliminations qui conduisent à ce but sont plus aisées à apercevoir, lorsqu'on se sert de la méthode indiquée par Lagrange (**).

En désignant par a une racine de l'équation f(x) = o, et posant <p(a)= — y, l'équation résultant de Félimination de a entre les équations /(a) = o et <p (a) +jr = o, sera du degré menj(l), et aura autant de racines nulles quéy(x) =oet <j>(x) = o ont de racines communes* Or de la résultante R = o des équations f(x) = et y (x) =0, on déduit la résultante des équation s/ (x) = o et <p (x) -\-y = o, en faisant croître <p (o) = b de y. En supposant que les coefficients b Q ,b u . . . , b n soient indépendants les uns des

(*) Histoire de V Académie de Berlin, 176/1, p. 64 • 1

(**) Mémoires de V Académie de Berlin, 1770.» Rcflcxions, etc., a» sArt*- 12.

, APPLICATIONS DES DETERMINANTS, 91

autres, et qu'il n'existe ainsi aucune relation entre les racines de l'équation <f (x) = o, R devient, lorsqu'on y remplace b par b -H j,

« dK 1 d>R ,

Par conséquent

n dK 1 d*K ,

sera la résultante des équations 4 /(a:)=o et q>(#) -f-j=o. Les conditions pour que cette équation ait i, 2, 3, . . . racines nulles, et partant aussi, pour que f(x) = o et <f (x) = o aient une, deux, trois, . . . racines communes > sont respectivement

dK R== °' 2» § = °>

etc., ...

dans la supposition que les coefficients de la fonction y (x) soient indépendants entre eux : ou encore,

dK * = °' ^ = °>

etc. . . ,

dans la supposition que les coefficients de ta fonction^ (x) soient indépendants entre eux. •

§ XII. — Produit de toutes les différences de plusieurs* quantités données.

\ . Pour désigner le produit de toutes les différences que Ton obtient lorsque, étant donnée une suite de n quantités «t , a* , . . . , a n , on retranche chacune d'elles de toutes les suivantes, nous emploierons la notation

P(«., «2,.. .,«„) = (a 2 — a ,)(a 3 — a,) ... (ol» — ^)

(dn — OLn-x)^

Ce produit est égal au déterminant de degré n

Démonstration. — Ce déterminant est une fonction rationnelle et entière des quantités g l9 « t , . . ., a n , et il s'annule lorsque deux de ces quantités deviennent égales entre elles {§ II, i) \ il est par suite divisible par le produit (a, — 3c 4 }. . > De plus, le déterminant, comme le produit,

sont du degré — - — — - par rapport aux quantités

(*) Caucby, Journal de l'École de Polytechnique, XXVII e cahier, p. 48. Le cas particulier

(& — a)(c — a)(c — £) = a£ s — a % b -+-bc % — b % c-+-ca % —c*a y

avait déjà été indiqué par Vandermonde, Histoire de l'Académie de Paris, 1771, p. 36g. Le théorème précédent a été démontré par Cauchy {Analyse Algébrique, t. III, § 2, et Note IV ) en développant le produit. Voir Jacobi, Journal de Crcllc, t. XXII, p. 3Go.

donc le quotient du déterminant divisé par le produit est un nombre indépendant de a,,a,, ..,«„, et de plus, ce quotient est l'unité, comme on le reconnaît par la comparaison du premier terme du déterminant avec le premier terme du produit.

Tandis que le produit renferme

termes, dont plusieurs sont égaux deux à deux et de signes contraires, le déterminant, qui lui est égal , se compose de I.2.3. - . n termes. En vertu du théorème précèdent, on n'a pluis à calculer,

dans le cas de 3 quantités, que 6 termes au lieu de 8;

5 120 1024? etc.

2. Lorsqu'on multiplie le produit de toutes les différences des quantités a t , a,, . . . , a n par le produit de toutes les différences des quantités (3 t , |3 8 , . • . , (3„, on obtient également un déterminant de degré n. Car on a (§ VI, 3)

■ p.---pr'

Ci,\- • 'Ci,,

(-n,\ • • • Cn,n

en posant

ou encore

(*) Cadcht, Exercices d'Analyse, t. II, p. 169.