On a es particulier

Jn l S n ^n-f-l • • •&!*— 7

[P(a„ a,,..., «.)]» = en posant

Dans ce cas, en effet, l' élément c ljJt du déterminant que Ton doit former (2) 5e réduit à la somme des {i-\-k — Q) iimêt puissances des quantités a 4 , a ît . . . . On a plus généralement

les 5 t du second membre ayant la même signification que ci-dessus, et le premier membre comprenant la somme de tous les termes qui se forment du terme initial

en remplaçant les quantités

par m quelconques (différentes entre elles) des quantités «!,«,...,«„. Car on a

c \,\ - • • Ci, m

Cm, 1 • • • ^m,m

(*) Cayley, Journal de Liouville, t. XI, p. 298, et BêRCiiARDT, Journal de Liowillc, t. XII, p. 58.

en supposant

Or on a, d'après cette condition (§VI, 2),

le signe de sommation ayant le sens indiqué plus haut.

4. Théorème. — En désignant par a t , a t , . . . , a n et par (3 1? (3,,...,(3 n des quantités quelconques; par P(a,, a 8 ....,a„) etpar.P^j, |3 S ,..., (3„) les mêmes produits

que ci-dessus, et de plus par TT (a, — j3*) le produit de toutes

i,k les différences qui se forment de a t — {3* en mettant pour i et h toutes les valeurs i,2,...,n:ona

*., c^, . . ., a„). P(pi, ft;, . . -, p«) , x 2

ai — P« a,

-fc

«2-pn

«n—Pi «„— p 2 a„— p,

Démonstration. — Désignons le déterminant du second membre par A, posons