SIX

On en tire, en mettant les premières les i ieme * lignes de ces déterminants, et appliquant le théorème de l'art. 1,

d'où il résulte qu'il ne reste plus, au numérateur comme au dénominateur, que les n — i facteurs considérés cidessus.

6. Lagrange a donné (*) , du système plus général d'équations linéaires

• x x a x +^Xi -\-...x n a n =tt, ,

la solution suivante, qui renferme le cas considéré par Cauchy (5). Formons la fonction

(*) Mémoires de V Académie de Berlin, 1775, p. i85 ; 179Q, p. 248, sans démonstration. La démonstration que nous donnons ici fait voir que la solution du système en question trouvée par Scheibnbr (Comptes rendus de U Société Saxonne, i856, p. 65) ne diffère pas de la solution de Lagrange.

d'où nous déduirons les fonctions

et de plus enfin la fonction dérivée f (z) . On aura **/' ( a «) = «t/*-i («/) -+" Uifn-2 («i) +.-.-+■ «* 2 /. (a,-) -f- «„,.

Démonstration. —En multipliant y^ t (z),y^ t (s),. . ♦ respectivement par i, t, £% . . . , et ajoutant les produits, C n * aura dans la somme pour coefficient

z — * d'où il suit que Ton a

z — c De cette identité résulte le système des équations

A-.(*) + «./^,(8)+... + a7' = /iîI.

Multipliant ces équations respectivement par x x , #j,. . ., ar„, et faisant la somme des produits, il vient, en vertu des équations données,

x ' ( z — a, z — a 2 z — cx. n J

On voit par là que x t , x t , . . . , x n ne sont autre chose que les numérateurs des fractions partielles dans lesquelles peut se décomposer la fonction fractionnaire

Ces numérateurs sont, comme on sait,

<p (z) représentant le numérateur de la fonction fractionnaire.

Si Ton a , en particulier, w = i , u t = t 9 m, = *% . . . , il vient

ce qui s'accorde avec (5).

7. La résultante du système analogue de n -+- i équations linéaires, pour les mêmes n inconnues,

*i +^a -h... -4-** =«o, .r, a, •+- jc 7 a, -h. . . + aT n a n =«r,,

est, d'après le § IX , 3 ,

tf, a.

APPLICATIONS DES DÉTE&MINANTS.

IOI

Cette même résultante se simplifie , en remarquant gue

G m désignant la somme, prise avec le signe ( — i) OT , des roduits m km des quantités différentes de la suite a i9

9»'.: • . , a n $ et que, par suite,

c n -h c n , «, -+- cu.«!h hC.ap' -+-a"

s'évanouit identiquement. En multipliant donc les équations données respectivement par

kn> W— 1 « • • • t tj ) li| t i,

et faisant la somme des produits, on trouve, pour la résultante de ces équations ,

En comparant les coefficients de u, dans les équations (1) et (2), on obtient l'identité

— (,)*-. C^-Pla,, a 2 ,...,a„)