Une fonction entière, homogène, du degré m, de

OqX

deux variables x> y,

SX ( T)*"*

r devant recevoir les valeurs o, i, 2. . ., m, et I ); désjg

gnant le r 1 *" 1 ' coefficient binomial relatif à l'exposant J^' ' peut en général , pour m impair, se ramener à la forme

^{piB + nrY*

où i doit recevoir les valeurs i, 2, • . . (*). Car les

m + 1 coefficients p ly p, , . . . , q lf q t , , . . peuvent , en général , se déterminer complètement au moyen des quantités donnée*** 1 a \ > « • • • Au contraire , pour m pair, en faisant

1 = 1, 2, . . . , — h 1, l'un des m-+- 2 coefficients p t ,p s ,. . . ,

q i9 q % , . . . resterait indéterminé.

Pour réduire la fonction

à la forme

posons, d'après Sylvester (loc. cit % ),

?=/>««0 Pi =Oi'y

(*) Sylvester ( Philosophie al Magasine, i85i, t. II, p. 391 ) a donné à cette expression le nom de forme canonique. La forme canonique d'une fonction homogène entière de deux variables a été étudiée avec de plus grands développements par Sylvester, (hç. cit. y et Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. IX, p, 9$).

APPLICATIONS Vt.6 D£ï1fi1lMI&AAxs>. IOJ

nous aurons les conditions

a 9 = £, -+- b t -K ..-+-£„, a x =4,a, -*-^ 2 aj -f- . . • -h &« a„ , # 2 =i,a -f-£ 2 a -+-••• 4- ^h* »

En éliminant les quantités b i9 fc, , . . . , 4 n entre la première de ces équations et les n suivantes, on a (7)

C„ *• -+- C„i tf â -H ...-+- C 2 ««-a -f- Ci tf»

On tire de même, de la seconde de ces équations et des n suivantes, et ainsi de suite, les nouvelles équations

C n a v +C )H . 1 a, + ... + C 2 fl IH . l -4-C.a»

C« ««i •+■ C„-., a n -f- . . . 4- C 2 tf, n 3 ■+• Ci «j«.» -+■ * ÎB -i = o.

D'ailleurs, en donnant à z une des valeurs a 4 , a a , . . . , a„, on a

C„ 4- C^z -K . .-f- C 2 z"- 2 -h Ctz"- 1 -h *" = o.

La résultante de ces n-\-i équations, linéaires par rapport

àC,^,..., est (§IX, 3)

Par la résolution de cette équation , on trouve les quantités a,, «» , ... , a n . Le premier membre de cette équation peut

îo4 SECONDE- PARTIE,' § XII.

(§ III , 4) se transformer en

tfn-l , "» «n-l * , . . . , tf^-., — fl*i-2 Z

et par suite (§11, 3)'en

tf 2 — tf, Z,

a n — « B -i2| • • • y **»*» — tfn-2*

Après avoir déterminé a t , a a , . . . , a n , on obtient les quantités b x , i a , . . . , b n au moyen des n premières équations du système posé ci-dessus, art. 6, et là on trouve, pour condition nécessaire de la réductibilité de la fonction donnée, que les racines ai , a» , . . . , a n de l'équation précédente doivent être toutes différentes les unes des autres.