Des équations

( ^ \ sin rs sin tu cos \rs, tu ) = cos rt cos s u — cos st cos ru,

( ^ \ sm st sin ru cos \st 9 ru/ = cos sr cos tu — cos fr cos su,

l ^ \ sm trsin su cos \tr , su) = cos te cos ru — co% rs cos tu,

on tire par addition

\ rs, tu ) -+- sin st sin ru cos \ si, ru )

( ^ \ -+- sm tr sin su cos \tr, su ) = o,

à cause de cos tr =* cos rt, etc. Dans ces équations, il faut observer que sin rs = — sin5r, cos \r$ , tu) = — cos (sr, tu) , etc. L'équation correspondante (*) entre les angles de quatre plans et les intersections opposées de ces plans sera

. . \ sin /v sin tu cos

(») { si

sm rr sin m cos 77, -f- sm st sin rie cos aa, -f- sin frsin $« cos BB, = o,

en désignant les intersections r$, st, tr par y, a, j3, et les intersections fii, ru, $« par y t , a t , ^j .

On a de même, pour quatre points A, B, C, D,

. v j AB.GD.C0S77, -f- BC.AD.cosaa,

1 ' | -HCA.BD.cospp, = o, ( h

AB, BC, CA, désignant des segments* pris sur les droites y, a, (3, et CD, AD, BD des segments pris sur les droites

7i > *i > 0i • On a, en effet,

ABcos77,.== AD cos a, 7, •+ DBcosp, 7,, BC cos aa, = BD cos p, a, H- DC COS7, a, , CA cos pp, = CD cos 7, p, •+• DA cos a, p, .

■ ( * ) JOACHIMSTUAL, loc . cit .

( ** ) Carnot, Mémoire sur la relation qui existe, etc. y 27 .

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. I<j5

En multipliant ces équations respectivement par CD, AD, BD, et faisant la somme, on obtient la relation énoncée, puisque Ton. a AD = — DA, etcos ^o^ = cos*^, etc.

Les équations (II) et (III) ne différent pas essentiellement entre elles, comme Ta reniarqué Joachitnsthal (/. c). Oh a, en effet, en ayant même égard au signe,

.™~ 2 >*„ .«~ sin ( ABC, ABD )