AA,A 2 .BB,B

Démonstration. — Posons AA t = j?, AA 8 = t y, BB, ==>, BB 2 = i\ ; il viendra ( 1 )

4 AA , A 2 . BB, B s = xyrr x sin xy sin rr x

xr cos-rr, yr cosyr xr x 'cos J?r, , yr, cos yr x

Le produit c ijA n'est pas ambigu, comme il pourrait le paraître. Déterminons arbitrairement les directions positives des droites AA, et BB*, c'est-à-dire les directions sui-

ig'2 SECONDE PARTIE, § XVII.

vaut lesquelles les distances doivent être comptées positivement sur ces droites. Par là les facteurs cos\AA <? dBJ, A Ai , BB* prennent des signes déterminés. Si Ton avait pris la direction positive d'une droite, par exemple, de AA <9

dans le sens opposé, l'angle (AA, , ÈB*/ aurait varié de 180 ,

et par suite cos ( AA, ,BB J aurait changé de signe, en même temps que la distance AA ( .

3. Si les plans des triangles A A, A t , BB, B t font entre eux l'angle q>, on a, d'après la notation précédente,

4 A Ai A 2 . BB» B, . cos <p =

Démonstration. — Soit NN,N t la projection orthogonale de BB] B f sur le plan A A, A s ; on peut appliquer au produit 4 AA, A t .NN, N* le théorème précédent. On a alors, d'une part,

NN,N,= BB,B a cosï, et d'autre part

AA,.NN,.cos(aA i ,]NN 1 )= AA,.BB,.cos(aa,,BB,),

etc., les projections orthogonales de NN, et de BB, sur la droite AA, étant identiques.

Le produit 4 A A, A, . BB, B, . cos ç n'est pas ambigu, non plus que le déterminant que l'on a trouvé pour sa valeur. Ayant choisi à. volonté le sens positif dans chacun des deux plans, c'est-à-dire le sens dans lequel on doit compter positivement les angles et les surfaces, on en tirera les signes des triangles A A, A 2 , BB, B t , et alors on entendra par <p l'angle que doit décrire l'un des plans pour que les triangles positifs dans les deux plans se trouvent de même sens. Si Ton change le sens positif dans l'un des plans, deux des

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. ïg$

facteurs du produit changent de signe, savoir, le triangle et cos y, l'angle <f variant de 180 ; donc le produit ne change pas.

4. En désignant par <r, y, /', r f des directions quelconques de l'espace, on a

sin xy sm rr x cos \xy, rr %

[xy, rr t ) =

cosxr cosyr cosjrr, cos/r,

Démonstration. — Faisons passer les directions données par un même point O, et prenons sur ces directions les distances positives OC = x, OD = y, OE = r, OF = r t ; on aura

(y\ \ I xr cosxr, yr cosyr xy,rr t ) =

I xr x cos xr, , jr, cos jr,

d'où, en supprimant le facteur commun xyn\ , on tire la v proposition énoncée. * c $*

Remarque. — Pour démontrer .la vérité de cette même proposition relativement à quatre plans quelconques (**), il suffit d'appliquer la proposition aux normales positives de ces plans, ou, ce qui revient ^a^mème, à la figure polaire du quadrilatère CDEF considéré ci-dessus, en supposant les points C, D, E, F situés sur une sphère décrite du centre O. Cette sphère sera rencontrée en un point par l'intersection de deux plans prise dans une direction choisie arbitrairement, et sera rencontrée par chaque plan suivant un grand cercle d'un sens déterminé arbitrairement, sans

(*) Cette proposition, qui comprend les propositions précédentes trouvées par Von Staudt, a été établie pour la première fois par Gauss (Disq. gen. circa superf. cunas, II, 6) ; puis elle a été reproduite par Von Staudt, Journal de Crelle, t. XXIV, p. 253, et en dernier lieu par Cauchy, Exercices d' Analyse, \. IV, p. 4i. C

(**) Joachimsthal, loc, cit., p. 44» a donné une démonstration analytique de ce corollaire relatif à la figure polaire.

que le produit dont la valeur est donnée par le déterminant présente une ambiguïté de signe.