ABCD=^P- ABCD

en désignant par r, 5, £, u les plans respectivement opposés à A, B, C, D, et par P le produit des surfaces des triangles. Le sens positif de chaque plan est ici déterminé de telle manière, que le triangle situé sur ce plan soit positif; les anglçs dièdres positifs sont décrits tous par des rotations de même sens. Une permutation circulaire de A, B, C, ne fait subir à P aucune altération; on a donc encore

ï ^ sin st sin ru 4 D s i n tr s ' n su

AB(UÎ ~9 P BO.AD ^s P CA.BD

d'où

( iv \ 9^*CD sin rs sin tu sin st sin ru sin tr sin su

( ' 4P ~~ AB.CD ~ BC.AD "". CA.BD l '"

On voit par là comment les équations (II ) et (III) peuvent se déduire Tune de l'autre.

6. Si x> y, z, r, r 15 r,, sont des directions quelconques dans l'espace, on a

cosxr cosyr cos zr

cos xr, cos^r, cos zr, (**).

cosxr 2 cosjr, cos zr,

sin xyz sin rr, r, =

Démonstration. — Faisons passer les directions données par un même point O, et prenons sur ces directions les segments positifs OÀ = r, OB = r x , OC = /y ; soient ( x , y, z ) , (jfujj, z,), (x iy jrtj *t)> les coordonnées des points A, B, C par rapport aux axes or,/, z. On a (§ XVI. -I)

rr x r 2 sin xyz sin rr l r a =

1 cos xy cos xz

cos x/ 1 cos yz

cos xz cosjz 1

x -\*y cosxp-|-z cosxz, x cosx^-r\p-r-z cosjz, x cos xz -f-/cosyz-H X\+y 1 cosx/-r-z, cosxz, x, cosxp-f^-i-z.cosjz, x, cosxz-l-y, cos^z+îi Xt+yicosxy+ztcosxz, x 2 cos x/-+-jH-z,cos7z, x, cosxz-f^, cos yz+i.

r cos xr r cosyr r cos zr r, cos xr, r, cos jr t r, cos zr x r 7 cos xr, r, cos yr 7 r 2 cos zr 2

d'où, en supprimant le facteur commun n\r f9 on conclut la proposition énoncée.

( * ) Brbtschnbider, Géométrie, § 677 .

( **) Von Staudt, loc. cit. Le cas particulier où le système x t y 9 s est orthogonal, et où par suite sin xyz = =t 1, a été traité déjà par Gauss, loc. cit.

7. En désignant par c 1?Jf le même produit de segments que ci-dessus (2) , on a -