AA I A J A 3 .BB 1 B 2 B

f ll C 2I C 3I C, 3 C-a C32

Démonstration. — En posant

AA, =.r, AA 2 =.x, AA a = z, BB, = r, BB 2 = r,, BB 3 = r 2> il vient (6)

36 A A, A 2 A 3 . BB, B 2 B 3 = xyzrr K r 2 sin xyz sin rr x f\ , xr cosxr, ^rcos^r, zr cos zr j?r, cos xr x , /r, cos yr x , «r, cos zr, xrjCOSxr 2 , jr 2 cos/r, , z/ 2 cos zr 2

S. Les déterminants

cosxr cosyr cos xr, cos jv,

cos xr cosyr cos zr cos xr, cos jr; cos zr, cos xr 2 cos^r, cos zr 2

, ont, en vertu de leurs valeurs trouvées ( 1 , 4, 6) , la propriété remarquable de n'éprouver aucun changement, lorsqu'on fait varier d'une manière quelconque la position relative des angles xy,rr t d'une part, et deV angles solides xjZj rr x r % de l'autre, pourvu que, dans le premier cas,

l'angle dièdre \^ 9 n\) conserve sa grandeur (**).

'* 9. Au moyen de l'équation (6) , on peut calculer la distance de deux droites dans l'espace, données de position par

(*) Von Staudt, loc. cit. Dans le cas où le second tétraèdre n'est pas différent du premier, alors on a c ik = c ki , et Ton obtient la formule de La» grange (Sur les "pyr.%, i5), et de Legendre (Éléments de Géométrie, Note V, 7).

( ** ) Cauchy, Exercices d'Analyse, t. IV, p. 5i .

rapport à un système d'axes quelconque x, j, z. Soient (•^i> Ji» *i) f (^i»yi, *i) les coordonnées des points A et B$ soient données les directions r if r, des droites AA', BB' au moyen de leurs angles avec les axes, de sorte que Ton puisse calculer l'angle r t r % . Désignons par r la distance AB , dont les projections sont x t — x t , jr 9 — y x , *i— z x , et par d la distance cherchée des droites AA', BB'. Tirons enfin AC dans la direction r, , et prenons AÀ', AC égales a l'unité de longueur. Oh a

6 AÀ' CB = d sin r, r 2 = r sin /r, r, ,

et par suite

dsia xjr&sin r, r, := en remarquant que

r cos xr r cos jr r cos zr cosarr, cosjr, coszr, cos .rr 2 cosjr, cos zr 2

rcosa:r = (x 2 — x K ) •+- (^ 2 — j ( ) cosxr -+- (z 2 — z») cos xz,

rcosjr = (j: 2 — .r, ) cos xj + (j,-/,) -4- (z, — z, ) COS^I,

rcoszr = (x,— x,) cos*e + (.r,— r,) cosjz-f-fz,— z,).

On obtient, en développant (*) ,

d sin xyz sin /-!#•,= (a -f- pcosary H- 7 cos .rz) (jr 2 —- a:,)

^-(acos*r-f.p +7 C0 »r»)tr»—ji)

H-(acosxz -+-pcos^z^-7 )(*f^-*t),

en posant, pour abréger, •*'

cos^r, cos zr, cos yr 7 coter*

cos zr, cos-rr, cos zr 2 cosxr.

cosxr, cos/r,

cos xr 2 cos /r,

(*) Cauchy, Leçon* .««r les applications du calcul infinitésimal , Préliminaires (lOH).

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. igg