COS
cos-
Pour m = 3, j3 1?1 se réduit àsin* 3 , |3 Î>8 à siu* 3 , jS 8j s à sin* 2 , ce qui s'accorde avec la proposition connue sur les rapports des côtés d'un triangle.
Si /*>3, et que le polygone soit plan, alors (3 1?1 , (5s,t»* • • 5 /5«,« s'annulent (3), parce que n — i droites dans un plan forment un polygone de « — î côtés. Les rapports
(*) MACNLS, Anal. Grom. dis liuumcs, § IX, (7). — Voir un Mémoire dt l'un leur, Journal de Crvllc, 1. XI. VI, p. i/j.S.
2l8 SECONDE PARTIE, § XVIII.
des côtés d'un polygone plan sont donc en général des fonctions indéterminées des angles formés par les côtés.
Si n = 4? et que le polygone ne soit pas plan, on a (S XVI, 8)
p (l = tinj 34 , |3„=sin' 34 , p 33 = sin; 34l p 44 =:siii;„.
On a par conséquent, en n'ayant égard qu'à la valeur absolue,
a { : a 2 : a 3 : a t = sin 234 : sin, 34 : sin, 24 : sin l23 ,
d'où Ton déduit la relation tétraédrométrique correspondante, qui donne les rapports des faces d'un tétraèdre (*). En vertu de la proportion que nous venons de trouver, on a (1)
V^Pm co V -+" iïfc.*™*p,2 -f- . . . H- V / P/i./»cos f ,, B = o,
les signes de tous les radicaux étant déterminés par le signe d'un quelconque d'entre eux. Dans le cas le plus simple, on a
sin 23 cos p ,i -H sin 3 , cos^j -h sin l2 cos^ = o ,
formule connue de goniométrie.
6. La position du point P par rapport au tétraèdre OABC est déterminée avec ambiguïté par les trois distances AP, BP, CP. La détermination devient complète, lorsque l'on connaît en outre la distance OP , dont le carré est lié avec les trois premières distances par une équation du troisième degré (3). Si Ton désigne, dune part,
AP 2 , BP' CP 2 ;
OÀ' , OB' , OC ,;W;
OA.OP.cosAOP, OB.OP.cosBOP, OC.OP.cosCOP,
( * ) Bret&chneider, Géométrie, 677.
respectivement par
h ïy /**, h 3 \ et (l'autre part, les coordonnées des points
par rapport à trois axes menés par le point O, par
x i> Ji> z t ; x a , jr 7> z 2 ; x 3 , jr i7 z 8 ; x 7 y y z:
il existe, entre les deux manières de déterminer P, les relations suivantes (*). •
On obtient d'abord, par des considérations trigonométriques, les équations
(I) zh^au + û— g l9 2h t =2a n -hh—g 2 , 2 A s = a s , -h /< — g i9
auxquelles il faut joindre, pour la détermination de A, l'équation (3, IV)
h h K h 2 hy
à t a u a Vi a Xi
hi a n a 17 ûj3
h* a , 3 flfj 3 a yi en désignant
OA.OB.cosAOB, OA.OC.cosAOC, OB.OC cosBOC respectivement par
* On trouve de plus, par la projection orthogonale (voir
A.n^ + rY, -r-*Z lf A 2 = 4?,X 2 -+- y Y,+2 Z2 , A 3 = ^X3 4-rY3 + zZ 3 ,
( * ) Lacrange, Sur les pyr. y 18.
en posant, pour abréger,
x x -f- JT\ cos xy -+- z, cosxz = X, ,
x x cosxy 4- j, -f- z, cosyz = Y, ,
Xi cosxz -\-y t cosj2 -4- z t = Z,,
et de même pour les autres.
On a réciproquement (§IX, 1)
(IV
/ R* = ( Rz =
(X,)+A,(X0-+-A»(X,) f [Y,)+A f (Y,) + *.(T,), (Z,)H-A,(Z,) +MZ,),
en posant
•*i ri z «
i ' cos xy
cos JTS
cos xy i cos jz cos yz
COSJZ
= 60ABCsinj?/z,
et désignant par (X,), ... les coefficients de X t , . . . dans R,
lesquels peuvent se développer d'après le § VI, 5.
Si, en particulier, P est le centre de la sphère circou-
scrite au tétraèdre OABC, on a g, = #2 = gz= A» et par
, • i , î , i suite flis-flu, ft t = -ci 2 ,, rt 8 = -fï 38 ,
7. La position du point P par rapport au tétraèdre OABC est complètement déterminée par ses distances à trois des faces du tétraèdre, en comptant positivement W distances normales dirigées vers l'intérieur, négativement les distances normales dirigées vers l'extérieur (oïivVàx^ versd). Désignons, d'une part, les faces OBCyÛCA^O&B, CBA par/i , f % , j\ , f\ les distances du point P a ces Taces par p t , /? 2 , /h » P h d'autre part, les coordonnées des points A, B, C, P, par rapport à trois axes passant par O, comme
précédemment : on a, entre ces déterminations de P les relations suivantes ( ¥ ):
Posons, comme au § XVI, 7,
qabc : obcp : ocap : oabp : cbap = i.: f*t : p> : p 3 : p,
6 OÀBC=V sin *rz; on en tire
i : p, : p, : p s : p = v sin xyz : a//?, : 2/ 2 /? 2 : a/ 3 ^ 3 : ?.fp ,
v 2 ^' 1 sin xyz
On a, par cette substitution,
3^- = ç,*H-îiirH-Ç.*.
sin xyz
- — £— = Ç,.r-+- u t( jr 4- Ç 2 z, un xyz
\ sin arjz et réciproquement
(II) ^ -r Vsin xyz =/ l p l y l -h/*/^ -hAPiX* »
-z Vsinj?r^=/i7?, z, -\-Ap**i +/ 3 /?3z 3 .
En vertu de l'équation fx -h f*i -H fXt -H f*s = i » on a (III)^ .# +/!>, +/,|»,-r-/,^ = £ Vaîn«r*.
Si, en particulier, P est le centre d'une sphère tangente
( * ) Lagrance, loc . cil . , a4 •
aux faces du tétraèdre, les valeurs absolues de p, p x , p % , p, sont égales entre elles, tandis que les signes de ces quantités diffèrent suivant que les diverses faces sont touchées intérieurement ou extérieurement. En désignant par p le rayon de la sphère inscrite proprement dite, on a
(/-*-/. -H/a +/») P = - V sin xyz,
Si p' est le rayon de la sphère qui touche extérieurement la facey, et intérieurement les autres faces, on a p= — p', p x = Pi = p% = p\ etc. En faisant toutes les combinaisons de signes possibles, on trouve onze rayons, dont six sont égaux deux à deux, et huit centres.
8. Les relations qui existent (*) entre les coordonnées g n g*i gt* ou ^1 5 ^s -> h* (6) du point P, et les coordonnées a t , fi t , fi 3 , ou pi , pi, p % (7 ) du même point, s'obtiennent par la substitution des valeurs de x, y., z, trouvées an § XVI, 7, dans les expressions que l'on vient de trouver pour A, , fi t , A 8 . Dans la formule
h { = p, (*, X, -hr, Y, 4- 2, Z, ) -h p. (*«X, -f-j^Y, -+- s,Z, )
H-fia(*,X,- r -.r a Y,-f-* I Z l ),
le coefficient de /uti a pour valeur OA* = a lf , le coefficient defXj pour valeur OA.OB.cos AOB= a lt , etc. [Démonstration, § XVI, 4). On a, d'après cela,
i h t = (t,a„ H- f* 3 fl, 2 -i-/i3fl,3, ' // 3 == p, 0,3 H- p, « „ -+. ja 3 a n .
( * ) Lagranck, toc. cit., aG.
Au lieu de développer le déterminant que l'on doit égaler à zéro pour calculer h (6), on peut poser immédiatement, comme ci- dessus,
et il vient
