II
( =f*îa ll +pΣï„^-fx*« 8 sH-2fx I p 2 fl l2 -4-2fx,fA 3 « 1 3-|-2/x,p s ûr„.
Réciproquement (§XVB[ y .7^JCX > 1) on a
«h «il #ia
(ni)
«ia «tt *23 = V'sin'.rj'z,
p, V'sin'tf/z = A, a„ -f- à* a„ -h A s a, 3 , . fA 2 V 2 sm a xx-z = /* l a l2 -hA a €i2 2 -hA»a„, ( /* 3 V'sin a a:7z=/i l a 13 -h A a a M -f- A 3 a 33 ,
p 3 V ' Sin a xyz :
a n > «it> * • • étant les coefficients de a ii9 a if9 . . . dans le déterminant qui exprime V*sin* xyz.
Au moyen des substitutions
fx.V sinxyz = 2 /,/>„ etc. . (7), «„ = 4/ï, a.. = 4/ /><»•»> etc.. (§ XVII, 5; § XVII, M),
on déduit des relations ci-dessus les suivantes
- h t V sin xyz = /,p,a u -+-/ 3 p 2 a„ -f-^ />,*„
(!V) ' - h i \sinxyz==/ l p l a l7 -{-/ 3 p 2 a i2 ^/ipia 7S9 * f - lh\smxyz=f x p x a X i+f 7 p 2 a n -+-f i p i a %lf
-f- 2/ Apip 2 a x7 -h 2 /, / 3 />, ^ €l l3 + 2/, / S /?,/>* «a,,
2^4 SECONDE PARTIE, § XVIIf.
et réciproquement
- p t V sin xyz = /t l f l -+- // 5 / 2 cos„ -+- ^/ 3 cos ln ,
(V) { -/>,ysin.r/z=: A./cos.j-M,/, +A s / 3 eo» 23 ,
, - /> 3 V sin.r/2 = h x /, cos, 3 -^ A,/ 2 cos M H- Kf %%
9. La relation entre tm&lre points A, B, C, D d'un même cercle peut s'exprintt&îtttînoyen des propriétés des angles, des distances oudes^gfres, qui sont déterminés par les points en question. D'après un théorème connu, contenu dans les Éléments tFEuch'de, la différence des angles
ACB — ADB = o ou = 1 8o°, d'où en général,
(I) 2(ACB — ADB) = o (*),
lorsque les points donnés sont sur un même cercle, et que Ton prend avec le même signe les angles décrits par des rotations effectuées dans le même sens. L'angle zéro équivaut à 36o°.
De plus, d'après le théorème de Plolémée (jilmageste, I, 9), on a
(II) y^-f. ^4-^=0,
en désignant par p, <jr, r les produits des carrés des droites opposées qui joignent les quatre points du cercle A, B, C, D. On tire.de cette équation 1 équation rationnelle entre les carrés des distances mutuelles de ces quatre points. On peut établir une équation analogue à cette dernière entre
( * ) Morbiiis, Kjeisverwandlschaft, § XIV.
les carrés des distances mutuelles de cinq points d'une sphère.
On connaît enfin les relations entre quatre points d'un cercle ou cinq points d'une sphère, et un autre point quelconque : la dernière de ces relations est contenue dans un théorème de Feuerbach (Untersuchung der dreieckigen Pyramide, p. i5), qui a été" reproduit par Cayley [Cambr, ^Math. Jour., II, p. 268) et par Luchterhandt [Journal de Crelle^ XXIII, p.. 3?5). Ces mêmes relations ont été déduites des principes du calcul barycentritjue par Môbius (Journal de CreUe^ XXVI, p. 26)/ Voici la méthode de Cayley, fondée sur l'emploi des déterminants :
Supposons que les points A, B, Xl\ D d'un cercle soient donnés, par rapport à un système d'axes rectangulaires, dont l'origine est O, par leurs coordonnées [x, y), (x i9 j r ,), {xt)jrt),.(x*,jr*)< On a, comme on sait,
• x 1 -f- y 1 = a -|- bx -f- ey,
et par suite (§IX, 3)
x 2 -+-y 2 1 x y •*Î+JÎ " *■ y\
(III
Le développement de ce déterminant, d'après le §111, 6, donne, en ayant égard au § XVI, S,
OA'.BCD. — OB'.CDA -h OC'.DAB — OD 2 . ABC = o.
En construisant OP perpendiculaire au plan du cercle, et ajoutant à l'équation précédente l'identité (§ XVI, 5)
OP'(BCD — CDA -+- DAB — ABC) = o,
il vient
(IV) PA 2 . BCD — PB 3 ..CDÀ 4- PC . DAB — PD' . ABC = o,
P désignant un point quelconque de l'espace. On a en' particulier, lorsque P coïncide avec D, •
DA a .BCD -h DB*. CAD -h DC*. ABD = o.
Soient donnés pareillement les points A, B, C, D, E d'une sphère, rapportés à un système d'axes rectangulaires, par leurs coordonnées (x 7 y, z), etc. . . Des équations
** -+- y* -h z* = « -+- bx -+- ey -\- dz, » • ' • . . .
il résulte
*î h- rî -+- z\ i *4 r« *
En développant ce déterminant (§ XVI, 6), il vient
OAV BCDE -+- OB' . CDEA -h OC'.DEAB + OD'.EAbC
(V*) l -uOE'.ABCD = o,
O désignant un point quelconque de l'espace. D'après les notations adoptées au § XVI, 7, on a
p.OA* -+- p,OB a -h f* s OC H- f* OD' = OE a ;
c'est-à-dire que, si /x, fjt,, f*„ fjt a sont les coefficients coordonnés de E par rapport à la pyramide DABC, alors, pour tous les points O d'une sphère décrite du centre E, la quantité /xOD* -h piOÀ* -h fXjOB* -h f^OC* est constante (Feuerbach). On a en particulier
AB' . CDEA 4- AC* . DEAB -+- AD' EABC 4- AE* ABCD = o, *,DA 2 -+- p 2 DB 2 + fx 3 DC 2 = DE».
En multipliant les déterminants (III) et (V) respectivement par
2Js
et par
i, •*'. -H.T 2 -H s% — ax, -—27, —iz
i> *î + /î + «ï> — a*o —274, on trouve (§ VI, 3)
et
en faisant, dans le premier cas,
4, = ** -t-j* + *î -h r î — 2**1 — 2 r/, = ab j ,
4, = x 2 -f- jr 2 + *î -+- 7a — 2 ix, — 2JT/1 = AC% etc
et dans le second cas,
</ 00 = x* + y 2 -\-z 7 -4-« a +j a -+-**.— 2.r 7 — 27* — ai* =0, a 0l = x 2 -h r 2 + z2 4- *rH rî + 2 ? — 2**1 — aj^i — 2zz, = AB% etc
.Par conséquent l'équation annoncée entre les distances mutuelles de quatre/ppints d'un cercle sera (Cayley)
o d,n d oi c/ 03
(vn)
O % d n rf I3
d n d ti o d 23 d s d l3f d 7i o
d iyi désignant le carré de la distance du i***' point au k iim *. L'équation analogue entre les distances mutuelles de
228 SECOKDE PARTIE, § XVIII.
cinq points d'une sphère sera (Cayley)
d ut «o d n d l3 d u
(VIII) d ê7 d„ o d 7Z d u
j d„ d Vi d n - o d si
d„ </„ il u ,d 3i o
Ces dé termi liante peuvent se développer d'après le § V, 2.
10. Les relations trouvées, de (III) à (VIE), ont* lieu ' pour les points d'une ellipse ou d'une hyperbole, d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde (*), en divisant le carré de chaque distance par le carré du demi-diamètre qui lui est parallèle.
Démonstration.. — Si, au lieu de la sphère, on considère une des surfaces du second degré dont nous avons parlé, et que les coordonnées orthogonales soient parallèles aux axes principaux de 1 la surface, l'équation
se changera en celle-ci,
bx-
cy-
■ dz
eMW-.
t et e t désignant l'unité positive ou négative. Il .s'ensuit que, dans l'équation (V), x* -f- y\ H- z % se trouve remplacé par , - •
Soit maintenant MAj le demi-diamètre de la 'surface qui
■ ( * ) I/cxlension des propositions précédentes à l'ellipse et à l'ellipsoïde a èu\ remarquée par Brioschi (Journal d<: Crclle, t. L, p. *j36) .
APPLICATIONS DES DÉTEftMUfAHTS. 2 20
a la même direction que OA, et soient, de plus, p, q y ries coordonnées de  t par rapport aux axes principaux de la surface. On a, par des propositions élémentaires,
x : y : z : oà =/? : q : r : ma, .
Mais, à cause de la relation connue
on a
Par conséquent, dans (IV) et dans (VI), on introduira OÀ a QB 2 OC 2
ma;' mb;' Me;' "*'
au lieu de OA*, OB% OC, . . . , les autres quantités no subissant aucun changement.
En multipliant ensuite le déterminant
par le déterminant
(*) Celte propriété a été indiquée par Joachiinsthiil, Journal de Crclle, t XL, p 32.
23o SECOWDK PARTIE, §XYI1I.
il vient l'expression
d i9 ... d kk
en posant
x 2 y 2 z 2 x; r; z; xx, ry t
expression que Ton trouve, comme ci-dessus, égale à AB* divisé par le carré du demi -diamètre parallèle à AB ; et ainsi de suite.
11 . Une section conique du second degré est déterminée par un de ses foyers O et par trois autres points A, B, C; par conséquent quatre points et un foyer d'une même conique doivent avoir entre eux une certaine relation. La surface de révolution du second degré qui résulte de la rotation d'une section conique autour de son axe principal, est déterminée par un de ses foyers O et par quatre autres points A, B, C, D, de sorte qu'il doit exister une relation entre cinq points d'une pareille surface et l'un de ses foyers. Ces relations ont été indiquées et démontrées par Môbius (Journal de Crelle, t. XXVI, p. 29).
On peut déduire ces relations de ce théorème connu, que le rayon vecteur OA = r d'une section conique ou d'une surface de révolution de l'espèce indiquée est une fonction
APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. a3 1
linéaire des coordonnées x, y, ou x 9 y, z du point A, par rapport à des axes quelconques. Soient x u y^ ou x l9 y^ z t les coordonnées de B, e te .... ; on a
r == a 4- bx 4- cy , r == a -f- bx 4- çy -f- <& ,
r, = a 4- bx x 4- cj, ,
r 3 = a 4- £#3 4- <Ts ; r { = a 4- &.r 4 4- cy 4 4- </z 4 ;
par conséquent (§ IX, 3),
ar 4
c est-à-dire (§XVI,5,6)
(I) OA.BCD — OB.CDA 4- OC.DAB — OD. ABC = o, A . BCDE 4- OB . CDEÀ 4- OC . DEAB 4- OD . EABC + OE.ABCD = o.
Si A, B, C, D sont situés sur la surface de révolution, et en même temps sur un plan passant par O, on a ABCD = o, et
BCDE : — CDAE : DABE : — ABCE = BCD : — CDA : DAB : — ABC, et par suite
