DES

§ I. — Partage des permutations d'éléments donnés en deux classes.

1 . Les éléments d'un arrangement dont on veut déduire les permutations se distinguent par leurs numéros d'ordre ou indices. Un élément est dit plus élevé qu'un autre, lorsqu'il a un indice plus grand. La combinaison d'un élément d'une permutation avec un des éléments suivants s'appelle, relativement à l'arrangement primitif, un dérangement (*) lorsque le premier élément de la combinaison est plus élevé que le second. Par exemple la permutation a t a t a^at contient quatre dérangements, a t a u a k a z , a^a^ a t a±.

Les permutations d'éléments donnés ont été divisées par Cramer en deux classes, dont la première renferme les permutations où il se trouve un nombre pair de dérange-

(*) Cramer, Analyse des lignes courbes, 1750; Appendice, p. 658.

munis, et la seconde les permuta lion s qui présentent un nombre impair de dérangements.

2. Théorème. — Lorsque dans une permutation on échange un élément avec un autre, tous les éléments restants conservant leurs places, le nombre des dérangements existants dans la permutation varie d'un nombre impair (*).

Démonstration. — Soient g et h les éléments que Ton veut échanger , h le plus élevé des deux , A le groupe des éléments qui précèdent g, B le groupe des éléments compris entre g et A, C le groupe des éléments qui suivent h. La permutation donnée étant ainsi

AgBhC,

et celle que l'on veut former étant

AàBgC y

la variation cherchée du nombre des dérangements provient de la position que g et /* prennent l'un par rapport à l'autre, et par rapport aux éléments contenus dans 6.

Soit j3 le nombre des éléments du groupe B, parmi lesquels il y en a (3, plus élevés que g, el j3, plus élevés que h. Alors, outre les dérangements qui existent dans 6, il s'en trouvera, dans l'arrangement gBA.|3 — /3i H-/3,, parce que g est plui^étevé que (3 — /3j éléments de B, et qu'il y a, dans B, @% éléments plus élevés que h. Au lieu de ces

(*) La division des permutations fondée sur ce théorème est due à Bezout (Histoire de l'Académie de Paris, 176/1, p. 392), et a été démontrée pour la première fois par Laplace dans la mémo collection, 1772, t. II, p. 294; elle l'a été ensuite plus simplement, do la manière que nous donnons ici, par Mollweide, Dcmonstratio élimina lionis Ciamerianœ, Leipzig, 1811, §9, ot par Gcrgonno, Annales de Mathématiques, t. IV, p. i5o.

dérangements, l'arrangement ABgf, formé par l'échange mutuel de g et de A, présentera (3 — (3, -h i -f- (3j dérangements , puisque A est plus élevé que |3 — 13 2 éléments de B, que de plus h est plus élevé que g, et qu'enfin il y a encore (3, éléments de B qui sont plus élevés que g. La différence de ces nombres,

est impaire. c. q. f. d.

3. Par des échanges successifs de deux éléments, on peut obtenir l'une après l'autre toutes les permutations d'un arrangement donné. Les dérangements que l'on rencontrera dans celte suite de permutations seront alternativement en nombre pair et en nombre impair (2). Comme le

-nombre total des permutations est pair, il existera autant de permutations de la première classe, contenant un nombre pair de dérangements, que de permutations de la seconde classe, contenant un nombre impair de dérangements. Ces permutations se déduisent de l'arrangement donné, les premières au moyen d'un nombre pair, les secondes au moyen d'un nombre impair d'échanges entre deux éléments.

Deux permutations appartiennent à la même classe, si elles peuvent se déduire Tune de l'autre, ou se déduire toutes les deux d'une troisième, au moyen d'un nombre pair d'échanges entre des éléments pris deux à deux.

4. Démonstration analytique du théorème (2). — Pour classer les permutations, formons dans chacune d'elles les différences des indices correspondant aux éléments, en soustrayant l'indice de chaque élément de celui de l'élément suivant. Une permutation contiendra autant de dérangements qu'il y aura de ces différences qui seront négatives (1).

. Le produit de ces différences est une fonction alternée des indices (*) qui prend la valeur opposée par l'échange de deux de ces indices.

Démonstration (**). — Chaque différence en particulier, dans l'échange de deux indices, conserve sa valeur absolue; le produit conserve donc aussi sa valeur absolue. Si Ton désigne par i et k deux indices déterminés, et par r et s deux autres indices quelconques; par

les produits des facteurs dont les formules générales sont

si l'on désigne enfin par e l'une des quantités H- i ou — i , le produit des différences à former pour une permutation donnée pourra se représenter par

e ( A — /) II (r — /) (r — A ) XI (r - s).

Si l'on échange maintenant i et k entre eux, les produits

n(r— *)( r — *) el n(r — s)

ne changeront pas, et k — i prendra la valeur opposée. Donc le produit complet prendra la valeur opposée.

Puisque, par l'échange de deux éléments de la permutation, le produit en question change de signe , il s'ensuit que le nombre des différences négatives, et partant aussi le nombre des dérangements de la permutation, varient d'un nombre impair, comme on l'avait déjà démontré ci-dessus.

(*) Fonction alternée, suivant Cauchy (Journal de l'École Polytechnique, XVII 6 cahier, p. 3o,el Analyse algébrique, t. III, p. 2). — Functio alternons, suivant Jacobi (Journal de Crelle, t. XXII, p. 36o).

(** ) Jacobi, De/., 2 (Journal de Crelle, t. XXII, n° 1 1).

THÉORIE DES D El ER Ml MAINTS. 5

5. L'échange des éléments d'un arrange nie ut est appelé permutation circulaire, lorsque chaque élément est remplacé par le suivant, et le dernier élément par le premier.

Par une permutation circulaire de tous les éléments^ on tire d'une permutation donnée une autre permutation qui appartient ou n'appartient pas à la même classe, suivant que le nombre des éléments est impair ou pair. Car la permutation circulaire de n éléments peut s'obtenir en échangeant le premier élément avec le second, puis avec le troisième, etc., ce qui fait ainsi n — 1 échanges d'éléments deux à deux.

D'une permutation donnée on en peut déduire une autre quelconque par des permutations circulaires effectuées sur des groupes séparés d'éléments. Soient, par exemple,

les indices des éléments dans la permutation donnée, et

les indices des éléments dans la permutation à former. Commençons par le premier élément à déplacer dans la permutation donnée, et remplaçons successivement 7 par 2, 2 par 9, 9 par 6, 6 par 5, 5 par 3, et enfin ï par l'élément 7 qui a servi de point de départ. On a ainsi séparé un groupe d'éléments sur lesquels on a accompli une permutation circulaire. Maintenant, dans la suite des éléments restants, remplaçons 4 par 8, 8 par 4» ce qui accomplit la permutation circulaire d'un second groupe d'éléments. L'élément 1 qui reste encore ne doit pa$ être remplacé par un autre. D'après cela, la seconde permutation a été déduite de ïa première par des permutations circulaires partielles.

En comptant pour uii groupe particulier chacun des cléments qui, dans le procédé que nous venons de décrire

pour déduire une permutation d'une autre, doivent être remplacés respectivement par eux-mêmes, on a la règle suivante :

Deux permutations appartiennent ou n'appartiennent pas à la même classe, suivant que la différence entre leur nombre d éléments et le nombre des groupes par la permutation circulaire desquels Tune des permutations données peut se déduire de Vautre , est paire ou impaire ( * ) . En effet, si les permutations données sont composées de n éléments, et que la seconde se déduise de la première en partageant les éléments en p groupes de a< , a 2 , a 8 , . . . éléments, et en faisant subir à chaque groupe une permutation circulaire, ces permutations circulaires pourront s'effectuer au moyen de

échanges d'éléments deux à deux* Or on a

donc la seconde permutation peut se déduire de la première au moyen de n — p échanges d'éléments deux à deux.

Pour amener les éléments du premier groupe à leurs nouvelles places, il ne faut pas moins de « â — i échanges d'éléments deux à deux, et ainsi de suite. Donc, pour déduire Tune de l'autre les permutations données , il ne faut pas moins de n — p échanges d'éléments deux à deux. Dans l'exemple ri-dessus, on a p = 3, n — f p = 6; par conséquent les permutations données appartiennent à la même classe.

( * ) Caicuy, Journal de l'École Polytechnique, XVII' cahier, p. t\i ; Analyse algébrique, Note IV.— -Jacobj, Dct., 3.

THÉORIE DES DETERMINANTS. 7

§ II. — Déterminant iVun système de n* éléments.

4. Si l'on considère m lignes horizontales de n éléments chacune, ou, sous un autre point de vue, n lignes verticales de m éléments chacune, pour distinguer en général ces éléments, il est commode de les affecter chacun de deux indices, dont le premier marque le rang de la ligne à laquelle appartient l'élément, et le second le rang de l'élément dans sa ligne ( * ) ; par exemple, on écrira

a lfl //,,,. . . a {>n

<*m,\ «Va- •

Au lieu de a i}ki on écrit aussi a { ] } ou simplement (*, A). Lorsque m = /i, la série des éléments

«1,1 «a,a« • • • tf*,/i»

depuis le premier jusqu'au dernier, s'appelle la diagonale du carré des éléments.

2. On entend par déterminant d'un système de ri 1 éléments, disposés sur n lignes de n éléments chacune, et représentés par a ijkf i et k recevant chacun toutes les valeurs 1 , 2, ... , n, la somme des produits de ces éléments pris n à », de manière qu'il n'y en ait pas deux dans le même produit qui appartiennent soit à la même ligne horizontale, soit à la même ligne verticale. Le premier terme

(*) Cette notation a été employée pour la première fois par Leibniz. Voir sa Lettre à L'Hospital, du 28 avril i6q3, dans les Œuvres mathématiques de Leibniz publiées par Gerhardt, t. II, p. 23g.

du déterminant est le produit des éléments de la diagonale, •

Du premier terme on déduit tous les autres, en laissant les premiers indices invariables et permutant les seconds. On prend chaque terme positivement ou négativement, suivant que la permutation des indicés qui a servi à le former appartient ou n'appartient pas à la même classe que le premier arrangement des indices.

Le déterminant de ri* éléments est dit du ri ème degré, parce que ses termes sont des produits de n éléments. Il est formé de i . 2 ... n termes, dont une moitié sont positifs et les autres négatifs (§ I, 3), et parmi lesquels il ne peut s'en trouver deux égaux et de signe contraire, tant qu'il n'existe pas de relations particulières entre lès divers éléments. On désigne un déterminant, d'aprçs Cauchy et Jacobi, en renfermant le système des éléments entre deux traits verticaux, ou en plaçant sous le signe sommatoire le premier terme précédé du double signe ± ; ou, d'après Vandermonde, en plaçant la série des premiers indices qui servent à distinguer les éléments, au-dessus de la série des seconds indices (*) :

tf/u o„; 2 . . . a n

l >> = Zu ^"m %*• • • a *>» = ~iri"r

(*) Cauchy, Journal de l'Ecole Polytechnique, XVII e cahier, p. 52. — Jacobi, Det., 4, et Journal de d'elle, t. XV, p. 1 1 5. — Vandermonde, Histoire de l'Académie de Paris, 1772, t. Il, p. 517. Les déterminants ont été découverts par Leibniz (loc. cit.) t qui a cherché à représenter par leur moyen la résultante de n équations linéaires à n — 1 inconnues, ainsi que la résultante de deux équations algébriques quelconques à une inconnue. Comme second inventeur des déterminants, on doit nommer Cramer (voir § I, l). La de-

THÉORIE DES DÉTERMIKAMTS.

Exemples :

abc a x b x c x a 2 b 2 c 2

= ab K — a x b.

-abiC t — ab 2 c x -+- a t b 2 c — a x bc 2 -h a 2 bc x — a 2 b x c.

ab { Ctds — ab x c^d 2 -\- ab 2 c % d x — ab 2 c\ d 3 -f- ab z c { d 2 — ab$c 2 d x

— a x bc 2 rf 3 -f- a x bci d, -h a x b 2 cd 3 — a x b 3 c 3 d-— a x b z cd 2 -+- Q { b z c 2 d -H a 2 bc x d ir - a 2 bc z */, — a i b l cd 3 -\-a i b l c z d-+- a 2 b z cd x — a 2 b* c x d

— a 3 bc x d 1 + a 3 bc 7 d x -\-a i b l cd 2 — a i b x Cid>—a i b 2 cd x -+-asb 2 c i d.

3. Les termes d'un déterminant peuvent aussi se déduire du premier terme, en permutant -Ijgs Hfflp 1 ' ers indices et laissant invariables les rangs des sténos indices. Si Ton désigne, en effet, par k t /r 2 . . . k n une permutation quelconque des indices 12... rc, alors a lfi a tiit . . . a„,* n exprimera un terme quelconque du déterminant. Or ce terme se déduit du premier terme a lyi a if% . . . a Wj „ soit en remplaçant les seconds indices 1,2,...,/* respectivement par A*t ,#,, . . . ,Ar„, soit encore en remplaçant, dans la série des premiers indices, # t par 1, # 2 par 2, . . . , h n par n. On a, dans les deux cas, à effectuer le même nombre d'échanges des indices deux à deux, et par suite le terme déduit par le second procédé obtient le même signe que par le premier procédé. Par exemple, de

nomination de déterminant, introduite par Cauchy, a été empruntée à des sommes formées d'après la lui ci-dessus, que Gauss (Disquis. arith.) a nommées déterminants des formes quadratiques. Depuis, Cauchy {Exercices de Mathématiques, Exercices d'Analyse) a substitué au nom de déterminant celui de fonction alternée , et aussi l'expression de résultante employée par Laplace ( voir § I, 2).

on déduit

en remplaçant les seconds indices i, 2,3,4*5,6 par 3, 2, i,4, 6, 5. Mais le même terme peut aussi se tirer du premier terme , en remplaçant les premiers indices 3 , 2 , i , 4 , 6 , 5 respectivement par i,2,3,4>5,6. Par le premier procédé comme par le second, il y a toujours quatre indices remplacés par d'autres, et dans les deux cas le terme déduit reçoit le même signe. **':

Deux systèmes dont l'un a pour lignes, verticales l|s lignes horizontales de l'autre ( et vice versa) , £.;„'

«2,1 «2,2». • tfj,« «1,2 «2,2-. ««,2,

ont le même déterminant S ± a iyi a îj2 • • • n^n- Car chaque terme de l'un des déterminants se trouve dans l'autre avec le même signe.

4. Théorème. — Un déterminant change de signe lorsque, dans le système de ses éléments, on échange une ligne (horizontale ou verticale) avec une ligne parallèle. Un déterminant s'évanouit identiquement lorsque les éléments d'une ligne sont égaux, chacun à chacun et dans le même

ordre, aux cléments d'une ligne parallèle (*).

Démonstration. — Soient R le déterminant donné, R' le déterminant qu'on en déduit par l'échange de deux lignes parallèles d'éléments: R' contiendra les mêmes termes que R avec des signes contraires. Car le premier terme de R'

( * ) Laplacl, Histoire de l 'Académie de Paris, 1 77?, 1. 11, p. 297 . — Vàndermonde, ibid., p. 5i8 et 522.

se déduit du premier terme de R par l'échange de deux des premiers ou de deux des seconds indices ; il se trouve donc dans R avec le signe contraire. Tous les autres termes de R', qui se déduisent de son premier terme au moyen d'un nombre impair (ou pair) d'échanges de termes deux à deux, résulteront du premier terme de R au moyen d'un nombre pair ( ou impair) de ces échanges. Donc tous les termes de R' se trouvent dans R avec le signe contraire, c'est-à-dire qu'on a R' = — R.

Si les éléments qui composent les deux lignes parallèles sont respectivement égaux dans le même ordre, alors, par l'échange de ces deux lignes, R se changera en — R : or le système des éléments n'est pas altéré par cet échange, et par suite — R=R: donc R= o, quelles que soient les Valeurs des éléments.

Par exemple, on a

#,, 2 . . . a Xtn a {/

«ai #i,3' • . «2,n

En général, si /, £,/,..., ainsi que r, j, t , . . . , désignent.

des permutations données de i , 2, . . . , /î, on a

tf /> ai,i <*i,t • • •

Ok.r Ûk,s C*k,f • •

e désignant l'unité positive ou négative, suivant que les permutations données appartiennent ou non à la même classe.

S. Théorème. — Si les éléments d'une certaine ligne du système s'évanouissent tous à l'exception d'un seul, le déterminant du système donné se réduit au produit de l'élément en question par un déterminant d'un degré moindre d'une unité (*).

Démonstration. — Soit

et supposons que parmi les éléments

a ijk soit le seul différent de zéro. Prenons, dans le système donné, la i ihme ligne horizontale d'éléments pour en faire la première ligne horizontale, et la h iè,ne ligne verticale pour en faire la première ligne verticale, de sorte que, par (1 — i)-f- [h — 1) changements désigne (4), R se change

(*) Jacqdi, Dct., j;

«7,,,* ff«,,|

où e = ( — i) ,+ *. Par hypothèse, les termes de s R dans lesquels le premier des seconds indices est différent de A, s'évanouissent. Donc eR se réduit aux termes qui se déduisent du terme principal

par la. permutation des seconds indices i, 2, . . . , À — 1, ft + i 9 * • •» "9 à l'exclusion de /:; c'est-à-dire, aux termes d'un déterminant de degré n — 1 (2), multipliés par le facteur a ifk . Ainsi

6 R = a ik

e ayant la signification indiquée ci-dessus.

Exemples :

a x a 2 ctt a {

C, Ci C, C K

IOOO

b b t b 2 b A c f , c, r 3 d tl x d 2 d,

6. Il s'ensuit réciproquement que tout déterminant peut être mis sous la forme d'un déterminant d'un degré plus élevé. Par exemple,

I «iH-î,*-H «/M-3,l • • '^n+2,n

et ainsi de suite. Les éléments

"n-Hti 5 • • • y u n-\-\,ny

J n+i,\ i • • • y **n+i,ni "/i-f-2 ,n-+-t 9

qui ne se trouvaient pas dans le développement du déterminant primitif, pourront recevoir des valeurs arbitraires quelconques, et par conséquent on pourra aussi les supposer nuls.

7. Lorsque tous les éléments situés d'un même côté de la diagonale s'évanouissent, le déterminant du système se réduit à son terme principal.

= etc...|5)

THÉORIE DES DÉTERMINANTS. *l5

§ in. — Des ternies dun déterminant ordonne suivant les éléments dune même ligne,

1 . Théorème. — En désignant par i et k deux indices quelconques de la suite i , 2, . . . , n \ par R le déterminant 2±a i9l a Syi . . .a njn $ par a iik le coefficient de a ijk dans R, c'est-à-dire par a iyi ac iyk la somme des termes de R qui renferment l'élément a ijk : les sommes

auront pour valeur R ou zéro, suivant que i et À* seroilt'^P égaux ou inégaux ( * ) .

Démonstration. — Chaque terme de R contient l'un quelconque des éléments

qui forment la i ième ligne horizontale, et n'en contient qu'un. Par hypothèse, a ifi a ifl est la somme des termes de R où se trouve l'élément a ifi , et ainsi de suite. Donc

R = a it{ a,-,, -+• a ttt cx.i ti 4- ... -H «/,» a/,» .

On trouve de la même manière l'identité

R = û lfi a,,f 4-tf»,,-a 2 ,/-4-. . 4- a n>i (x. n>i . Si Ton y fait

ou bien

(*) Cramer, /oc. «*i. — Cauchy, loc. cit., p. C6. — Jacobi, Det., G. Les identités qui résultent de ce théorème pour le cas de «=3, se trouvent dans Lagrange, Sur /« Pyramides, 7 {Mémoires de r Académie de Berlin, 177S).

l6 PREMIÈRE PARTIE, § III.

on obtient des sommes qui équivalent aux déterminants de systèmes où tes éléments d'une ligne sont respectivement égaux aux éléments d'une ligne parallèle. Or ces déterminants s'évanouissent identiquement (§ II, 4).

2. Pour multiplier un déterminant par un facteur, on multiplie par ce facteur tous les éléments d'une même ligne. Réciproquement, on peut placer devant le déterminant lui-même tout facteur commun aux éléments d'une même ligne. Ainsi

abc

pa b c

pa pb pc

U\ b { c, a 2 bj Ci

^zr.

pa K b y i\ pa 2 b 7 c-i

^zz

C'est ce qu'on rend évident, en mettant le déterminant sous la forme a a -+- «i«i -f-a 2 a s> ou sous la forme a ce -h 6(3 -h cy. On a encore '

a b (h b { abc a b x c { a /; 2 r 2

— a \ b x i b c i b x c x i bt c z

abc

=r ab

3. Si tous les éléments d'une même ligne sont composés chacun de m termes, alors le déterminant peut se décomposer en une somme de m déterminants. Si l'on suppose

«i.i = /»i + fi -H *",-+-... ,

tfi.2 = />2-f- 7-"-h r * +-...,

on aura

R = a iti a,,, -f- fl/, 2 «; # î + . . . -h a,> a/,„ = y», «i.i +/?» a/,2 -h • • • ~b Pu «i> -H<7« a/.iH-^J a M ■+" • • • *+" ?n %!,* -H ^i «i.i 4- *i a>*,i H- ... -h r » «i>

Les divers déterminants dans lesquels R se décompose, sont formés de R en y remplaçant les éléments

par leurs parties respectives

, r,, . . , /•„, etc.

par exemple,

b b { bi

C' Cy C X

4. La valeur d'un déterminant n'est pas altérée, lorsqu'on ajoute aux éléments d'une même ligne respectivement les éléments d'une ligne parallèle, multipliés par un facteur commun (*) : ainsi

a + b p, b, c abc éJ^f- C

a-\-b x p, b ly c t = a x b t c, -f- />- >#,V^, c, a -+- b 7 p , b 3 , c 2 a 2 b 3 c 2 b* b 2 c 2

[voir 3 et 2), et le second déterminant est identiquement nul dans cette expression (§ II, 4).

(*) JACOB!, Journal de Crelle, t. XXII, p. 371.

Exemples :

x —ïa\;y — b x t —a, : jr t — b

8. Détermination du coefficient cn itk qui multiplie Vêlement a i9 i dans le déterminant R. — Pour ne conserver que les termes de R qui renferment a iyk , supposons nuls tous les éléments d'une des lignes qui contiennent a iiky k l'exception de ai yk lui-même. Substituons ensuite l'unité à la place de a l)A , et nous trouverons le coefficient cherché,

expression qui peut se mettre sous la forme d'un déterminant du degré n — i (§ TI, 5). Si l'on prend la i ième ligne horizontale pour première ligne horizontale, et la h ième ligne verticale pour première ligne verticale, il se produit alors (ï— r-ij. -h (A — i) changements de signe dans a iyl (§ II , 4) ,*SXon a par conséquent

— iV+*

THÉORIE DES DÉTERMINANTS. 1Ç

Par un procédé analogue, on déduit de R le coefficient qui multiplie dans R le produit ff/,*a r , en remplaçant a ifk et a rjt par l'unité, et mettant zéro à la place de tous les autres éléments contenus dans les lignes qui se coupent en a i9i et en <ï r>x . Ce coefficient se réduit à un déterminant du degré n — i -, et ainsi de suite.

6. Détermination de a l)A par les permutations circulaires. — Pour déduire de R un autre déterminant, égal en valeur absolue, et dont le premier élément soit <i ljjt , en se servant de permutations circulaires , il suffit d'effectuer successivement i — i permutations circulaires des lignes horizontales , et À — i permutations circulaires des lignes verticales, ce qui introduit

(i — i +*— i) (n— '0 changements de signe (§1,5). On a par conséquent (5)

rt i'+i,*4-i * • • &i+\,n a i-\-\,\ • • • tf|-H,#-

fl|-l,*+i

Dans les déterminants de degré impair, les coefficients a, k peuvent se déduire de a 1)t par des permutations circulaires, sans changement de signe. On a, d'après cela, pour la formation des déterminants par voie récurrente,

abc

l>xC x tl x

b 3 Ci <h b c d

7. Détermination de a ijk par la différent iation. — Si les éléments d'un système sont indépendants les uns des autres, il suffit, pour différentier R par rapport a a l)jt , de considérer seulement la somme a^ k <x ifk . Or a l>Â est indépendant de a^i ; par conséquent

Le coefficient de a ijk dans R peut donc s'exprimer par le quotient différentiel parliel

da itk

Le coefficient de a,,* a rjS dans R entre dans a l>Â comme coefficient de a, v , et peut en conséquence s'exprimer en différentiant oc,^ par rapport à a rj , , ce qui donne

De ce coefficient on peut déduire celui de a,.^ « <>jr dans R, en échangeant entre eux les premiers indices i et r, c'està-dire en échangeant la i irme ligne horizontale du système donné avec la r ihn '\ Par là, R subit un changement de

(*) Jacobi, Del., (>.

( **) Jacobi, Dct., 10.

signe ; ou a donc, pour le coefficient cherché ,

da r> k da iiS

da it k da ri

On déterminera d'une manière analogue le coefficient de a iy i a r ^ s a UfV dans R. On trouve en même temps des relations entre les troisièmes dérivées partielles de R. Et ainsi de suite.

8. Si les éléments du système, qui portent les mêmes indices dans Tordre inverse, tels que a iih et a*,,-, dépendent l'un de Pautre, il en est de même aussi des déterminants de degré m ,

a it r 4i, s ?u • • •

et Q =

<*t,i ttt.k <*t,l* .

dont l'un se forme au moyen de l'autre en permutant la suite des premiers indices avec celle des seconds.