I. Si, en particulier, a^ = a ifk , alors on aQ = P, car
«r,i «5,1 «/.* • (*r,k *s,k <*t,k- <*r,l o St i a t j.
fs,i <*s,k «*,/• . .
at,i 0t,k ftt.i- - •
II. Si Ton a a kji ="— a ifi , *,„ = o , alors Q = (— i)-P. En effet, en multipliant chaque ligne verticale de P par — i , et par suite (2) P par ( — i) m , il vient
Si la suile des indices r, $, f,. . . est une permutation des indices l 9 A, /, ... et que m soit impair, alors Q est, non-seulement = — P, mais aussi = -f-P (§ II, 4), et, par suite, le déterminant est identiquement nul.
9. Théorème. — En désignant, comme ci-dessus, par R le déterminant
et par <x iik le coefficient de a iyk dans R, on a, dans l'hypothèse de a kfi = a ijk ,
ï dR *i,k = a*,i = 7 3r~ ( )}
2 <&,-,* v "«, rfR ,
Au contraire, on a, dans l'hypothèse de a*,* : de a,.,,- = o ,
et par suite, pour n pair,
■«,-,* et
ï clR i da ipk
et pour « impair,
Démonstration. — Les. propositions énoncées relativement à R et à a ifi résultent des propriétés de P et de Q trouvées dans l'article précédent (voir 6). On a de plus,
(*) Jacobi, Journal de Crelle, t. XII, p. 20. ( ** ) Jacobi, Journal de Crelle, t. II, p. 35/j .
en verlu de la dépendance entre les éléments correspondants a iyk et a lfi (7) ,
dR da k ,i
da it k da itk
Mais, d'après la première hypothèse, on a dak,i
et par suite
dR da itk
En vertu de la seconde hypothèse, on
dak.j da it k
et par suite (7)
</R da itk
Pour /i pair, — a kfi = <x ifk -, par conséquent
dR
Pour zi impair, - — s'évanouit identiquement, comme R lui-même, et l'équation dR
deti,k donne le résultat déjà obtenu , a #) * = oL kji .
10. Différentielle d'un déterminant. — Si tous les éléments du système doivent être considérés comme des variables indépendantes, alors, en vertu de l'équation (7)
dR
dai,k
on a, pour la différentielle complète,
les termes de cette somme se déduisant de <x i}k da i>k ^ en remplaçant i et h successivement par tous les indices depuis i jusqu'à n.
Soient, par exemple, y x y y t , . . . , y n des fonctions de x ; désignons le h ieme quotient différentiel de jr t par y iik ; formons le déterminant
jr. y* y\,\ yi,\
.y* ' • yn,\
y \,n—\ y-i,n—i • • • yn,n—\
et désignons par y i}k le coefficient de y iyk dans R n . On a, d'après la formule que nous venons d'établir,
dx **à ' dx
La somme (1)
il.* ji^t-i -+• **,* y*,k+\ ■+■ • • . -f-i«,* y n ,k+\
s'annule pour toute valeur de k inférieure h n — i } il reste, par conséquent,
H. Théorème. — Si Ton a R= 2 ±«i,i a îjf . . .# njn et
(*) Jacobi, De/., 6.
(**) A bel, Journal de Crelle, t. Il, p. 22. — Malmstén, Journal de Crcllc, t. XXXIX, p. 91,
THÉORIE DES D ÉTÉ RM USANTS. 2à5
que a iyk désigne le coefficient de a i}k dans R; si de plus B = 2 =t b XjX i M . . . &„,,„!, et que (3^. soit le coefficient de l'élément b iyl dans B ; si enfin on forme au moyen de B de nouveaux déterminants B,, en remplaçant les éléments de la première ligne verticale b tjl , è t>1 ,. . . , b nm lyi par les éléments a,,,-, a tji9 . . ., a n lyh on aura identiquement
•a,,, B,-ha„,, B 2 -h. . . -+-a JI ,.B - = o(*); ■
Démonstration. — D'après (i), on a les identités
*l' «im «1,1 -h«"n,2 «1,2 + ...+a M fl i,« = <*»
<*»,! «ii-i.i "+■ a/i,2 «n-i,2 -h • • • "+* *n t » a n-l,n — O .
En multipliant ces équations respectivement par les quantités
et faisant la somme des équations ainsi obtenues, la quantité a njl aura pour coefficient, dans cette somme, l'expression
B,- = a lti p M -4- a 2>i p,,, -+-...-+- «„-!,,- p rt t,i , qui se déduit du déterminant
en remplaçant les éléments i ljt , fe 2jl ,..., £v i,i parles éléments û,,,-, a fjl -, . . . , a n __ ui .
(*) Bczout (Équations algébriques, 1779, § 220) a indiqué les cas les plus simples de cette identité.
Exemples. — En écrivant, pour abréger,
au lieu de
(abc
abc
( abcd) , . .
«3 b 3 c 3 di
on a
(bc) (ad) + (ca) (bd) -h (ab) (cd) = o (*), (bcd) (aef)-(cda) (bef) -f- (dab)(cef)— (abc) (def)=o, (bcde)(afgh)+(cdea)(bfgh) + (deab) (cfgh)
-h (eabc) (dfgh) -+- (abcd) ( efgh) = o , etc. . . .
Remarque. — Les propositions géométriques correspondantes (voir ci-dessous, § XVI) ont été établies par Monge, 1809 (Journal de V École Polytechnique, XV e cahier, p. 68), et, depuis, par Mcebius (Baiyc. cale, §§ 166 et 171). Le théorème précédent est contenu dans la décomposition générale du produit de deux déterminants, que Sylvesler a donnée (Philos. Mag., i85i, t. II, p. \^i\ compar. i85a, t. II, p. 342), et dont Faà de Bruno (Journal de Liouville, t. XVII, p. 190) a publié une démonstration très -simple.
§ IV . — Décomposition d'un déterminant en une somme .de produits de déterminants partiels.
\ . Théorème. — Partageons les lignes horizontales d'un système donné de n* éléments en groupes, dont le premier
(*) Cette identité se trouve déjà, d'après l'indication de Vandermonde {lac. cit., p. 527), dans les Mémoires publiés par Fontaine, 1764 (au commencement de sa Seconde méthode du calcul intégral, p. 90) .
contienne les a premières lignes horizontales, le deuxième les (3 suivantes, le troisième les y suivantes; et ainsi de suite, de sorte qu'on aita-r-(3-f-y-f-... = rc$
Formons , avec une combinaison quelconque de a lignes verticales du premier groupe (rangées suivant Tordre ascendant), le déterminant À de degré a;
Parmi les lignes verticales du second groupe, laissons de côté les prolongements des lignes verticales qui entrent dans A, et avec une combinaison quelconque de (3 des lignes verticales restantes, formons le déterminant B de degré (3$
Parmi les lignes verticales du troisième groupe, laissons de côté les prolongements des lignes verticales qui entrent dans À et dans B, et formons, avec une combinaison quelconque de y des lignes verticales restantes, le déterminant C de degré y } et ainsi de suite ;
Parmi les lignes verticales du dernier groupe , laissons de côté les prolongements des lignes verticales qui entrent dans À, B, C, . . . , et formons, avec les lignes verticales restantes, un déterminant de degré n — a — (3 — y.. ..En formant le produit ABC ... de toutes les manières possibles, et donnant aux divers produits le signe -+- ou le signe — , suivant que la série de tous les seconds indices est une permutation des seconds indices donnés appartenant à la première ou à la seconde classe; la somme de ces produits est égale au déterminant donné (*).
Démonstration. — Un produit tel que ABC. . . renferme ceux des termes du déterminant qui se déduisent du terme principal
en laissant invariables les premiers indices, et partageant au contraire les seconds indices en groupes (rangés suivant
(*) Jacobi, Det,, 8, d'après Laplacc, loc. cit., p. 39/1 .
Tordre ascendant) de a, /3, y,. . . indices, et permutant les indices dans chacun de ces groupes. Si l'on effectue le grou T pement de toutes les manières possibles, et aue l'on permute chaque fois les indices dans les divers groupes, on obtient toutes les permutations des seconds indices donnés. La somme de tous les produits ABC. . . comprend par conséquent tous les termes du déterminant donné.
Le déterminant A peut être composé de
manières différentes, puisque c'est là le nombre des combinaisons de n indices pris aka. Pour chaque déterminant A,
on peut former
a )dé
éterminants B différents , puis-
que c'est là le nombre des combinaisons (3 à (3 des n — a indices restants. Pour chaque produit AB, on peut former
déterminants C différents, et ainsi de suite.
Par conséquent, on peut en général former
I n\ (n— a\ In — a — f*\ 1.2... n
produits ABC. . . , dont la somme compose le déterminant donné. On retrouve, en effet, le nombre des termes du déterminant (1 .2. . .«), en multipliant le nombre des produits ABC. . . par le nombre des termes d'un tel produit
FXEMPLE I
a tr 2
C\ Ci
(il (il
c r 3 dd,
c c t dd x
La, décomposition d'un déterminant du n iè,ng degré en une somme de produits formés chacun d'un déterminant du i c degré et d'un déterminant du (n — 2 ) ,èm<î degré se. trouve traitée avec développement par Jacobi (Det., 9 et 10).
2. Lorsque les éléments du système donné, qui ont i lignes verticales et n — /lignes horizontales communes, s'annulent, le déterminant se réduit au produit d'un déterminant de degré i par un déterminant de degré n — i (*)
a lti a, ti+l .
l-H.l'-H • * ' ff M-l,i
a iA . . . a iti a„ ti .
,,-4-1 . . . u Hta
Si Ton partage en effet le déterminant donné en une somme de produits de déterminants du ï eme et du( n — i) ième degré, en réunissant dans un même groupe les n — /lignes horizontales désignées dans l'hypothèse, et dans un autre groupe les 1 lignes horizontales restantes, parmi les déterminants de degré n — 1 que Ton aura à former, un seul sera différent de zéro.
