PREFACE

liC puissant instrument que l'Algèbre et l'Analyse emploient aujourd'hui sous le nom de Déterminants était, il y a peu d'années encore, difficile à connaître à l'aide des seules sources auxquelles on put alors puiser. Les grands géomètres s'étaient créé ce moyen auxiliaire en vue des hautes spéculations dont s'occupait leur génie, et ils n'avaient guère songé à retarder la construction de leur édifice par des considérations sur les matériaux et les appareils, de la solidité desquels ils étaient parfaitement convaincus. De là il est arrivé pour les déterminants, comme pour tous les instruments importants des mathématiques, qu'ils sont restés longtemps la possession d'un petit nombre d'esprits d'élite, avant qu'une théorie méthodique en rendit l'intelligence et lusage abordables aux esprits ordinaires. Le premier qui ait eu l'idée de venir en aide à l'Algèbre par la formation des sommes combinatoires appelées aujouid hui déterminants, ce fui I illustre (.eibni/, comme l'a remarqué Diriclilcl

VI PlUilACli.

Mais, saul la lettre à l'Hospital du 28 aviil 1693, où Leibniz parle avec conviction «le la fécondité de son idée, on ne connaît aucun autre passage d'où l'on puisse conclure que Leibniz ait cherché à tirer de nouveaux fruits de celte découverte. La seconde invention des déteiniinants par Cramer, 1750, ne s'est pas perdue, à cause des services qu'elle a rendus aux progrès de l'Algèbre, grâce aux travaux de Cramer lui-même, et quelques années plus tard à ceux des Bezout, des Laplace, des Vandermonde, des Lagrange. C'est Vandermonde (Sar l'élimination, l'j'j'i) qui a cherché à créer un algorithme des déterminants, tandis que Lagrange, dans son Mémoire classique Sur les pyramides, 1773, faisait déjà un usage très-étendu des déterminants du troisième degré dans les problèmes de géométrie analytique. Mais ce qui a le plus contribué au perfeclionnement et à l'extension du calcul au moyen des déterminants, ce sont les Disqaisitiones arahmeli<œ de Gauss, 1801. En partant de la considération des algorithmes qui se rapportent, dans cet ouvrage, aux « déterminants des formes quadratiques, » Hinetet Cauchy, 181 a, ont établi des règles générales, pour la multiplication des déterminants, et par là certains calculs sur des sommes difficiles à manier ont acquis une facilité inattendue. Jacobi, avec son génie créateur, s'empaia en 1826 de ce nouveau calcul, dont )Msqiir-la h's développemenls élaienî dus

PHlilACK. VM

surfont à (^aiicLy- l^es tiavaiix qu'il a publiés clan?» le Journal de Crelle sont des preuves éclatantes de la puissance de ce nouvel instrument dans la main d'un tel maître. C'est par les Mémoires de Jacobi De foimalione et proprietaiibus determinantiuni et De determinantibus functionalibus, iS/fi, que les déterminants sont devenus pour la première fois accessibles à tous les mathématiciens, et, depuis, leur théorie a reçu de divers côtés des accroissements importants.

Le Mémoire de Jacobi De Jormatioue , etc., qui n'a pas été rédigé pour l'usage immédiat de ceux qui commencent cette étude, et le traité de Spottiswoode intitulé : Elementaiy theorems relating to déterminants, London, i85i, et dans lequel, à côté d'un ordre convenable des matières et d'un bon choix d'exemples, on rencontre un grand nombre de négligences et même d'erreurs qui diminuent la valeur de l'ouvrage : tels étaient les seuls moyens que l'on eut pour arriver à la connaissance des déterminants, lorsque je me décidai à rassembler les matériaux, encore dispersés pour la plupart, pour en composer une théorie des déterminants, suivie de leurs plus impoilantesapplications. Mon travail était presque terminé, lorsque j'ai eu connaissance de l'ouvrage de Brioschi, intitulé: La teorica dei determinanti , Pavia, i8r»/|. Ce traité, appelé par le besoin généralement senti d'une introduction élémentaire à la connaissance des

VIII PHÉFACIi.

déterunuanls, bien qu'il ne soil pas loujouis lii^oureux dans les principes, est cependant écrit avec une parfaite connaissance dn snjet, et contient un riche trésor d'excellents matériaux. Aussi cet ouvrage s'estil promptement répandu et fait apprécier. La traduction allemande de ce livre estimable, publiée tout récemment à Berlin, a été sans doute très-bien accueillie des mathématiciens d'Allemagne, et si j'ai eu le courage d'achever mon Traité sur le même sujet, cela tient principalement à ce qu'il diffère de celui de Brioschi par le plan et par l'exécution. Pour mettre à découvert dans sa pUis grande simplicité le noyau théorique de cette doctrine, j'ai exposé les principales propriétés des déterminants et les algorithmes auxquels elles servent de base, dans un traité rédigé avec la rigueur svnihétique, telle qu'on la rencontre dans les ouvrages des géomètres de l'antiquité, et lorsque cela m'a paru nécessaire, j'ai éclairci les principes par des exemples simples, Pour comprendre avec clarté les propositions d'un système, il ne yjeut être qu'avantageux d'avoir toujours présent^ auprès de chaque théorème, l'ensemble des prémisses sur lesquelles il repose. Quant aux applications à l'Algèbre, à l'Analyse et à la Géométrie, je les ai réunies dans une section spéciale, pour en rendre l'intelligence plus facile en donnant aux sujets une plus grande liaison, et pour parvenir en même temps à