Le quotient d'une expression par sa conju
iMULTI PLI CATION ET DIVISION DIÎS
ûuée a pour grandeur l'unité, et pour inclinaison le double de Vinclinaison du dividende.
Soit en effet rs" l'expression donnée; sa conjuguée sera ?■£""; et l'on aura, ponr le qnotient,
■49. La somme d'une droite et de sa conjuguée a une inclinaison nulle, ou égale à 180", et une longueur égale à deux fois la longueur de la projection de la droite sur l'origine des inclinaisons.
Posons OA = X +xi; alors
cj. OA = X —yi, et OA -;■ cj.OA = ix.
Suivant que œ est positif ou négatif, l'inclinaison est zéro ou 180"; et la grandeur est double de celle de x. On peut écrire encore
OA4-cj.OA = arcosa,
SO. Si d'une droite on retranche sa conjuguée, la différence a pour inclinaison 90° ou 2'jo°, et pour longueur le double de la projection de la droite sur une perpendiculaire à l'origine des inclinaisons.
Car, en posant OA = x -^ji, il vient
OA — cj.OA -- si.jï ^ -zirsina.
Similitude symétrique de deux triangles.
51. Supposons qu'on ait ^.; ^-,^|ï7- Cherchons à traduire géométriquement celte équipoUence. A cet effet, posons {Jîg. 12) gr.OA = a, gr.OB = b, gr.0A'=3', gr.OB'-b', iiic.OA = a, inc.OB = % inc,OA'= «', inc.OB'= p'.
.2 PBEMiftllE PAHTIE. — CHAPITRE II,
L'équipollence peut donc s'écrire
bzfi bVfi' b ' ~ b'
Il faut donc qii'on ait
Mais
a - ^ r-... ang. BOA, p'- a' = sng, B'O A'.
Si nous comparons les dens triangles OAB, A'O'B', nous voyons qu'ils ont leurs côlés homologues OA, OA' etOB, OB' proporlionnels en Uni que longueurs, et que
les angles en O sont de grandeurs égales, mais de signes contraires. Il est clair, à la seule inspection de la figure, que ces triangles sont semblables ; mais, si le rapport de similitude devenait égal à l'unité, ils ne seraient superposables qu'après avoir retourné l'un d'entre eux sens dessus dessous.
On dit que ces deux triangles sont symétriquement semblables.
Réciproquement, si deux triangles KLM, K'L'M' sont symétriquement semblables, on exprimera cette similitude en égalant le rapport géométrique de deux côtés de l'un de ces triangles avec le rapport des conjuguées des côtés homologues.
MULTIPr.HiATlON ET DiVlSION DES DROITES. 43
On peut réstiiiier ces reialions en écrivant
KL LM MK qTÎÏ'T? ~" cj.L'M' ~ qTM'K''
Ces remarques, rapprochées de celles du n" 32, sonl d'un précieux usage dans les applications, comme nons allons immédialemcni en voir un exemple.
Projection d'une droite sur une autre. — Puissance d'un point par rapport à uu cercle.
52. Soit AB {fig. i3) une droite dont nous voulons déterminer la projection sur une aulre droite donnée.
Nous pouvons, sans rien enlever à la généralité du problème, supposer que celte seconde droite a également pour origine A. Appelons-la AC. Soit ÂP la projection cherchée. Si nous prolongeons BP d'une longueur PB', égale àelle-même.les triangles ABC, AB' Oseront symétriques par rapport à la droite AC, et nous aurons, en vertu du numéro précédent,
AB'cj.AB cj.AB
Le point P étant le milieu de BB', il vient
AP.l(AB + AB') = ;(ABH.AciAÏ).
44 pnmiifiiiR pautie. — €HAi>iriin ii.
Donc, la projection de la droite AB sur la droite AC a pour expression
^p ^ ABei.AO-i-ACr.j.AB
" ^ cj.AC
53, Nous pouvons donner une autre forme à cette [>rojectlon AP, en posant
AIÎ= ht^, AC^ cîï.
Elle devient alors
c'est-à-dire (43),
AP= bcos(^ — f)ïT.
Celte transformation nous montre qu'on a toujours identiqueraentrégalité entre quantit(5s alg^ébrlques
i(AB.cJ■.AC^-AC.tj■,AB) = b(;coscJ
en grandeur et en signe.
Mais le second membre
bc-cosa ou gr.ABgr.ACcos(CAB)
représente, comme l'on sait, la puissance du point A par rapport au cercle construit sur BC comme diamètre. Donc :
La puissance d'un point Kpar rapport à un cercle de diamètre BC a pour expression
A(AB.cj.AC-+-AC.cj.AB).
En désignant cette expression parla notation abrégée y.\ (b, c), on peut établir simplement un grand nombre
MULTIPLICATION ET DIVISION DES DEOIIES. .'p
Je propriétés sur les puissances de points par rapport à des cercles (').
Le signe de la puissance varie avec celui du cosinus de l'angle CAB. On vérifie aisément que la puissance est positive quand le point A est extérieur au cercle, et négative quand le point A est intérieur.
Lorsque l'on considère deux droites AB, LM ayant des origines différentes, on peut faire subir à l'expression
AB cj. LM -i- LM c,]. AB = 3 gr. AB gr. LM cosO
une transformation assez intéressante.
On a
AB = A.L — BL = AM — BM et LM ^ AM — AL = BM — BL.
Delà
AB cj. LM = AL cj. AM — AL c:j, AL
+ ELcj,MA-i-BLtj.AL, LM cj, AB = BM cj. AM -+- BL oj. RM
— BMcj.BM-!-LBcj.AM, et par addition
ABcj.LM-1-LMcj.A.B
= AM cj. AM — AL cj. AL -i- BLcj. BL — !ÎM cJ. BM
= (gr.AM)^ + (8r.BL)^-(gr.AL)^.-(gr,BMr.
Aire d'un triangle. — Aire d'un polygone.
34. Coasidérons le triangle ABC, Soit P le pied de la liaut.eur alialsscc du sommet B sur AG.
(') Voir Association française pour l'avancement des Sciences; Compte rendu de la i' session {Nantes) : Mémoire sur les puissances de points, p. i3g-i53.
46 PiiiijnÈuii PARTIE. — ciiAt'iTii]: ii.
Nous avons (52)
,„ , AB cj.AC-hAG q.AB
^P-^ ^TjTAC—
Donc
, AC cj-AB— Ali cj -AC ^ cj.AG
Le produit des longueurs de BP et cj.AG exprime évidemment le double 2S de l'aire du triangle.
D'aiilrepart(50),le mimérateur ÂCcj.ÂB — ABcjAC a pour direction celle d'une perpendiculaire à l'origine des inclinaisons, c'est-à-dire que son expression est ki k étant une quantité algébrique positive ou négative.
Nous pouvons donc écrire, en divisant par i cette expression,
±2î = — ,(AG cj.AB — AB cj.AG),
±.(= -(Ali cj.AG — AC cj.AB).
Si nous supprimons le double signe de s, nous serons conduit à considérer dans l'aire d'un triangle, non seulement la grandeur, mais le signe, ce qui n'offre que des avantages, et nous dirons d'une manière générale que l'aire d'un triangle ABC s^exprime en grandeur et en signe par la formule
^(AB ci. AC — ACcj.AB),
Nous remarquerons qu'en remplaçant AG par AB -H B(^ on trouverait aussi
4(AB cj.BC — BG cj.AB).
Si l'on inlcrvcnissail les dcu\ lettres B et Gdansl'itEe
r DIVISION DES DliOITES, 4?
OU l'autre de ces deux expressions, on trouverail un résultai égal et de signe contraire. Nous sommes donc amené à considérer l'aire AGB comme égale et de signe contraire à l'aire ABC.
En général, l'aire d'un triaugle est positive quand on énonce le périmètre en le parcourant dans le sens des rotations positives, c'est-à-dire en ayant l'intérieur du triangle à sa gauche. Elle est négative dans le cas contraire.
Celle précieuse convention sur les signes des aires est fort avantageuse, comme nous le verrons bientôt. Il est bon de montrer dès à présent qu'elle constitue une conséquence logique et directe des conventions sur les signes des angles.
Pour cela, posons, comme plus haut, AB ^ hsP, AC— CÊï. Nous avons (43)
-^(AB cj.AC- ACcj.An) = -^-(e3-ï-eï-P)
= 6îL'sin(P-,)
C'esl précisément la formule connue qui donne l'aire d'un triangle, puisqu'elle contient en facteur sin(Y — ^) ; il est donc bien naturel de considérer cette aire comme positive ou négative, suivant que l'angle (y — P) sera positif ou négatif,
Sa. Si l'on prend un point O intérieur à un triangle, on a
aire ABC = aire OAB + aireOBC -+- aire OCA.
Grâce à noire convention sur les signes des aires, il est visible que celle relation subsiste pour un point quelconque du plan, soit extérieur, soit intérieur.
48 PREIBIlillE PARTIE, — CHAPLTKH 11.
On voit de même que l'aire d'un polygone quelconque ABC. . .L sera
aire OAB -+- aire OBC -(-...+ aire OLA.
En posant OA ^= A, OB ^ b, . . . , OL = l, nous avons donc cette formule pour l'aire d'un polygone dont on donne les sommets :
7[(*CJ.lH-flCJ.G-V-...+ LCJ.A)-(lïCJ.A + GCJ.B+-.+ AC.j,L)J.
Cette formule, appiiqiiéo au quadiilatcrc, donne un résultat inléressanl, car on a
Acj.B-i-Bcj.C-hCcJ.B-l-liCi.A— BCJ.A— (iCJ.B— DCJ.C— Aej.D = (A-C)CJ.(B-D)-(B-D)CJ,(A-C)
==CAcj.DB— DBcj.GA.
L'aire est donc
-'(CAej.DB - DBcj.CA),
e'est-à-dire équivalente à celle du triangle ayant deux côtés équipollents aux diagonales du quadrilatère.
Progressions par quotient,
56. Nous dirons que plusieurs droites (auxquelles nous supposons même origine) OA,, OAj, ..., 0A„ forment une progression par quotient lorsque le rapport géométrique de l'une quelconque à celle qui la précède est constant.
Il s'ensuit que tous les triangles OA, A^, OA^ Aj, — 0A„, A„ sont directement semblables, si bien qu'en joignant successivement les points A,, A^, ..., A„ on a une sorte de ligne brisée spirale qui s'éloigne de l'origine O si le rapport constant (ou la raison) a
une grandeur supérieure à l'unité, et qui s'en rapproche si celte grandeur est inférieure à l'unité. Dans le cas où la raison a pour grandeur l'unité, tous les points A), Âj, ... sont évidemment situés sur une même circonférence de centre O.
Toutes les propositions établies en Algèbre sur les progressions par quotient s'appliqueront direclement, puisque nous avons démontré que les règles du calcul des droites sont les mêmes que celles du calcul algébrique.
Nous n'en produirons ici qu'un seul exemple, relatil
à la somme des termes. La raison étant ^^r ^fig- ^4)<
FEg. A-
ipplicalion de la formule connue nous donnera
