OM-:J-E
m.. Dans la formule (i) du n" ^0, on a
^ = ,-cosa, j= /-sin.;
donc celte formule peut s'écrire
OM = r(cos«-t- isinul,
-TirLICATlON ET IllVISION DES DROITES.
raison avec ia formule (o.) ci-desï
On reconnaU par suite, en verUi de la formule d'Eu- 1er, que notre symbole e n'est autre que l'expression e' si conramment employée en Analyse{').
(') Nous ieiiûos à rappeler ici la formule d'Euler, bien qu'elle ne iious soit nullement nécessaire pour notre exposiUon ; c'est qu'en tCfet cette formule nous semble Être une des plus remarquables conceptioDs de l'esprit analytique; et elle a été l'objet d'attaques imméritées selon nous, même de la part d'auteurs qui ont écrit d'excellentes choses sur les imaginaires. C'est ainsi, par exemple, que, dan? son Ouvrage Des formes imaginaires en Algèbre, M.Vallès élève contre cette formule les deuï critiques suivantes ;
1° La formule d'Euler donne i = e'"'^ = e'^^;^ .... Les nombres e'", e*'', . .., tous différents les ans des autres, élevés à la même puissance if— I, donneraient doue le même résultat, ce qui semble inadmissible, ou tout au moins paradoxal.
5° En élevant les expressions précédentes à la puissance \/— i, on a e~^T' = e"''' = . . ., ce qui est absurde.
De pareils reproches dérivent d'une méconnaissance complète de l'idée des déterminations multiples qu'une même fonction peut présenter, et c'est pour cela que nous avons insisté si fortement sur le nombre infini des inolioaisons d'une même droile. Pourquoi, par exemple, M. Vallès ne dirait-il pas : n On a
si j'élève les deux membres à la puissance \, j'obtiens — i = + i, résultat parfaitement absurde? " C'est que l'élévation à la puissance \ est une opération à détermination double. Mais de quel droit effectuer, avec l'exposant imaginaire v'— i, ce qu'on ne peut faire avec l'exposant \ 7
En réalité, si a est positif, a' représente une droite de longueur i et d'inclinaison mesurée par loga. Telle est la vraie définition réelle. Il n'y a donc rien d'extraordinaire dans l'égalité des résultats cidessus, puisque les logarithmes sont ait, l\ic, 6ic, ..., ce qui donne la même direction que si l' inclinai son était nulle.
38 pnKMiÈnE pabtie. — ceiapithu h.
Les diverses expressions que nous venons de donner pour la représentation d'une droite OM sont d'un usage continuel el d'une application très commode dans le calcul des équipoUenees. Il est donc important de se les rendre tout à fait familières.
Droites conjuguées.
43. Soit une droite OÂ; si une droite OA'a la mÈmc longueur et si son inclinaison est égale et de signe contraire à celle de OA, on appelle OA' conjuguée de OA. D'après cette définition, OÂ est évidemment conjuguée de OA'. On désignera la conjuguée d'une droite par la notation cj. et l'on écrira, par exemple, OA'=cj.OA, OA = cj.OA'.
Les droites OA, OA'peiivent être transportées parallèlement à elles-mêmes où l'on voudra dans le plan, sans cesser pour cela d'être deux droites conjuguées.
D'après les expressions que nous venons de donner pour une droite, on voit que la conjuguée se formera immédiatement.
Par exemple, si OM = x+)'(, on aura
SiOM^ SiOM =
cj.OM =
SiOM = /'(cosa-|-(sliia)
cj.OM =.r(coBa-a;,.ï).
En prenant simplement les identités
MULIIPLECATION ET DIVISION DÉS DROITES. ZlJ
qui correspondent à dcox droites conjuguées âe. longueurs égales à l'unilé, on obtient, par addition et soustraction, les relations
dont l'interprétation géométrique est évidente.
On se sert souvent de ces formes du cosinus et du sinus d'un angle.
La notation des droites conjuguées est très utile, et nous en trouverons de nombreuses applications.
Principes relatifs aux droites conjuguées.
Ai. Nous pouvons, sans démonstration, tellement ees vérités sont d'une complète évidence géométrique, énoncer les propositions suivantes :
La conjuguée de la somme de deux droites est équipollente à la somme de leurs conjuguées.
La conjuguée duproduit {ou du quotient) de deux droites est équipollente au produit {ou au quotient) de leurs conjuguées.
Il suit de là, d'une manière générale, que la conjuguée d'une fonction quelconque de plusieurs droites est équipollente à la même fonction des conjuguées de ces droites.
45. En rapprochant ce dernier énoncé de ce qui a été dit un peu plus baut (43), sur la formation de la conjuguée d'une droite, on arrive, pour le cas où les droites sont mises sous les formes x-\-yi, riP, rt^, à ce nouveau principe général :
Pour obtenir la conjuguée d'une expression quelconque, il suffit de changer les signes de tous les
4o PREMliîflR PARTIE — CnAPITRE IT.
exposants de i ou de s que renferme cette expression.
46, A toute équipa lie lice correspond une équipollence conjuguée.
Supposons que dans l'équipollence primitive nous remplacions toutes les droites qui y figurent par leurs conjuguées respectives. Toutes les constructions indiquées par la première é qui pollen ce devront alors s'effectuer sur une figure symétrique par rapport à l'origine des inclinaisons, et par conséquent on aura une équipoUence correspondante, car la seconde figure, égale à la première, jouira exactement des mômes propriétés.
47. Ls produit de deux expressions conjuguées a une inclinaison nulle, et une grandeur égale au carré de la grandeur de chacune des deux expressions.
Cette proposition résulte directement delà définition d'un produit (28) et des définitions et. principes qui précèdent.
On la metanalytiquement en évidence, en remarquant que deus expressions conjuguées peuvent s'écrire sous la forme re'*, re""", ou encore x -\-yi, x — yi. Dans le premier cas on a, pour le produit,
et, dans le second,
La grandeur est donc bien le carré de r, et la direction est celle de l'origine des inclinaisons.
