MULTIPLICATION ET DIVISION DES E

c'est-à-dire qu'on doit construire le triangle OA|X' directement semblable a ÂiÂ^O.

87. Il est presque évident que les droites A1A2, A2Â3, , . . forment elles-mêmes une progression par quotient, de même raison que la première; car on a

OA, OA^ OA, — OA; As A3 OAî ~ OAi ~ "OA2 — OA, ~ A, A/

58. Sans anticiper sur l'application aux courbes du calcul des équipollences, on reconnaît aisément que tous ces points A,, A^, . . . sont situés sur une même spirale logarithmique de pôle O.

Pour le prouver, appelons Is'' la raison; et posons en outre 0A,^= 3.t'^. Alors nn terme quelconque sera exprimé par

En appelant r ia grandeur de ce terme et 9 son inclinaison, nous aurons

équation d'une spirale logarithmique passant par tous les points considérés, lesquels répondent aux valeurs entières de p.

Si l'on ne voulait pas supposer connue l'équation de la spirale logarithmique, il serait facile d'en établir ici la théorie, par l'insertion successive de moyens, en nombre de plus en plus grand, entre les termes successifs de la progression, de manière à arriver à l'idée de continuité. 11 ne serait nécessaire pour cela de s'appuyer sur aucune notion de Géométrie analytique; les

52 PLinjiiiiiiE PAiiTin. — ciuriTRE ii.

raisonnements seraient les mêmes que ceu\ qui des progressions conduisent aux logarithmes.

La spirale logarithmique joue un rôle considérable dans la théorie des équipollences ; son importance est à peu près égale à celle du cercle, qui n'en est do reste qu'un cas particulier.

C'est ce qui nous a déterminé à en donner ici la première notion, bien que nous devions y revenir plus tard.

S9. Bien que résolu à supprimer pour ainsi dire toute application dans l'csposc de la théorie, nous croyons cependant utile d'en indiquer une, comme conséquence bien directe de ce qui précède, et à laquelle nous ne donnerons aucun développement.

Si l'on garde iea notations du numéro précédent, la somme de la progression par quotient OA,, OAo, — , 0A„ est

En formant l'équipoHence conjuguée, il est évident que la somme des premiers membres sera

Or, si l'on ajoute les seconds membres, un calcul très simple montre qu'on obtient

l'> ^icos\a^(n.-~i)\]-l"cos(<^-^n.X)-lc<,s(^-l)+cr,^^. ^^ ;î-l-i-a/cosX

Nous avons donc l'expression de la somme de cosinus d'arcs en progression par différence, respectivement multipliés par les termes d'une progression par quotient.

Si l'on faisait / :^ i, on aurait simplement la somme

MTJLTIL'LICATIOX ET DIVISION DES DROITES. 5d

des cosinus. La formule est alors snsceptiLle de transformations que nous n'avons pas à examiner ici, et qui n'offrent pas de difficultés sérieuses.

On peut se proposer les questions analogues pour le.' sinus; nous en iaissons le soin au lecteur.

Remarque finale.

60. Nous bornons ici les considér; avions à présenter sur la théorie des équipoUences. Il y a nécessairement un nombre beaucoup pins grand encore de vérités d'ordre général que l'on pourrait établir relativement à ce calcul; mais l'exposé qui précède suffit amplement, si l'on s'en est bien assimilé toutes les parties, pour aborder les applications, qu'il nous reste à examiner maintenant et que nous nous efforcerons de varier autant que possible.

Il nous paraît cependant nécessaire encore de placer ici une simple remarque générale, snr un point qui n'aura pas échappé au lecteur. C'est que, au fond, cette méthode ne fait d'autre emprunt à la science de l'étendue que les premiers principes de Géométrie, en ce qui touche surtout les propriétés des parallèles, celles des angles et celles des triangles semblables. Il n'y a donc aucun cercle vicieux à appliquer la méthode des équipoUences à des questions de Géométrie plus ou moins complexes, puisqu'on a seulement supposé établis les éléments les plus essentiels.

Accessoirement, nous nous sommes servi, pour abréger l'exposition, de quelques notions élémentaires de Trigonométrie ou de Géométrie analytique ordinaire; mais il importe de bien se rendre compte qu'on aurait pu établir ces notions parle secours de la méthode ellemême. Nous considérons toutefois que nos lecteurs sont

54 ['UEMIÈIIE rARlIE, — CHAPlTIiE 11.

inities à ces éléments, ce qui nous a permis et nous permettra plus de Ijrièveté.

Quant à l'Algèbre, au contraire, nous admettons qu'elle est établie entièrement, que les règles de calcul et les transformations en sont complètement connues, puisque l'esprit même de la théorie des équipoUences . consiste dans l'identité du calcul des droites avec le calcul algébrique, d'où résulte la possibilité d'une méthode analytique systématiquement applicable. C'est dtt reste ce que montreront amplement les applications.

EXElîGIGES SUR LE GII,\.PrrRE II.

1. Sur les côtés BC, CA du triangle ABC, on construit respectivement les triangles BCAj, CABj, directement semblables à ABC. Démontrer que les droites AB, AjBi se coupent en leur milieu.

Il suffit de calculer les valeurs de CA„ CB, et d'en faire la somme, qu'on trouvera éijuipollente à CA + GB.

Oq conclut delà que la figure AB,BA,, est un parai lélograminc,