Trois points A, B, C étant donnés, on a identiquement
AB»M- CA.CB - BC-t- AB.AC = CAÏ-+-BG.BA.
Cette expression, si l'on fait la construction indiquée dans l'exercice précédent, peut encore s'écrire AB.AAi= AB.BjB.
L'identité se vérifie immédiatement si l'on remplace AB par n— *, ..., et la seconde partie de l'énoncé résulte évidemment des valeurs de
3. On donne un triangle ABC et une droite LM. Sur celle droite, on construit les triangles LMP, LMQ, LiVIR directement semblables à ABC, BCA, CAB respectivement. Démontrer que les triangles PQR et GAB sont directement semblables.
a que leur rapport est -^771 pai
ou en déduira PQ, PR par l'eKcrcice précède ut, on rciin calcui des plus faciles.
4. Deux triangles directement semblables ABC, A'B'C étant donnés, on consti-uil sur AA' un triangle AXA' quelconque, puis les triangles BYB', GZC directement semblables à AXA'. Démonirev que le triangle XYZ est directement semblable à ABC et A'B'C.
On calculera ï, v, z 1 litnde et en prenant u Icmcnt le résultat (lem
[ moyen des équipollences indiquai] b origine quelconque, et de li on ti
la si
S. Si l'on a x= '■ — , a? étant une quantité réelle, ie
point X est situé sur une circonférence.
Pour le reconnaître, i! suffit de calculer le rapport des deus quantités X , ï On voit alors que l'inclinaison de ce rapport est
constante, c'est-à-dire que X est le sommet d'i sant par deui points fixes. Chercher Sa conditi férenee se réduise à une droite.
i angle constan 1 pour que la ci
exprime que le point X est situé s par les trois points A, B, C. En prenant pour origine A, B ou
Conséquences de l'exercice précédent, obtenues e dans la formule générale, les valeurs particulières 0,
56 l'ftKMlKRE PARTIE,
Si on a le signe — , on construira d'abord AC = — A.C' = OB ; si on a le aigne +, AC = — AC'=iOB; et la construction est alore, ramenée à celle d'une moyenne proportionnelle.
8. Deiis triangies ABC, A'B'C ayant même médiane AM, si la demi-base MB de l'un d'eux est parallèle à la bissectrice de l'angle B'AC et égale en grandeur à la moyenne proportionnelle des côtés AB', AG', la demi-base MB' sera parallèle à la bissectrice de l'angle BAC et égale en grandeur à a moyenne proportionnelle des côtés AB, AC.
En prenant A pour origine et posant MB = d, MB'=^ n', on il ne = m' — d', b'c'= u' — o''. Or, d'après l'hypotiièse , on a d — \/b'i:', et l'on déduit de là, par conséquent, d' — \/bo.
9. Deux triangles ABC, AB'C ayant un s et les côtés opposés égaux et parallèles, si la médiane AM du premier triangle est perpendiculaire à la bissectrice de l'angle B'AC et égale en grandeur à la moyenne proportionnelle de.s côtés AB', AC, la médiane AM' du second triangle sera perpendiculaire à la bissectrice de l'angle BAC et égale en grandeur à la moyenne proportionnelle des côtés AB, AC.
Mêmes notations qu'à l'exercice précédent. L'hypotlii;se donne ici n = n' et u' — — d'c', et l'on en conclut m'' = — ne.
10. Deux triangles ABC, AB'C ayant la bissectrice des angles en A commune en direction, et les grandeurs des produits AB.AC, AB'.AC étant égales, si la médiane AM du premier triangle est pei-pendiculaire et égale à la demi-base M'B' du second, la médiane AM' du second sera perpendiculaire et égale à la demi-base MB du premier.
Mêmes notations qu'aux deuï exercices précédents. L'hypothèse
il. Soit, sur un plan, G le barycentre d'un système de poids «1, Oj, . . . , a„ placés aux points A,, A^, . . . , A„ respcclivemenl; étant un point quelconque du plan, et s représentant la somme ai -i- a. -!- . . . + a„, démontrer qu'on a
Sr'0G=12««8r'0A, La formule qui donne le point G
si l'on se rappelle que le carré d'nne droite quelconque MN a pour expression MN cJ.MN, la relation en démonstration se réduira k la ïérificalion d'une identité qui s'obtiendra par un calcul asseï simple.
