CHAPITRE I

PROCÉDÉS GÉiSÉUAUX.

Marche générale à suivre pour la solution d'une question.

61. Oo a pi( reconnaître que le calcul des équipollances n'est autre chose que l'Algèbre des faits géométriques du plan. Pas plus que pour l'Algèbre ordinaire, iln'esldonc possible de donner un procédé constant pour obtenir la solution d'une question proposée; mais on peut du moins fournir quelques indications générales, propres à faciliter les applications qui doivent venir ensuite, sauf, bien entendu, en ce qui louche la théorie des courbes, auxquelles un Chapilre spécial est réservé. Les questions qui se présenteront consisteront généralement, soit dans la démonstration d'une vérité géométrique, soit dans la recherche de certains éléments inconnusau moyen d'éléments connus.

Dans l'un comme dans l'autre cas, il s'agira tout d'abord de mettre le problème en équipollence, en écrivant les relations que fournissent les données. Cela fait, par des transformations convenables de calcul, au mojen

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des règles que nous avons exposées, nous transformerons ces équipe 11 en ce s de manière à mettre en évidence l'objet de notre recherche.

Dans ce travail des transformations d'équipollences, qui peut être plus ou moins compliqué analytiquement suivant les cas, les considérations géométriques ne jouent plus auciin rôle. Nous les introduisons au début dans les données; nous aurons à les examiner dans les résultats, en interprétant ceux-ci ; mais, dans l'intervalle, elles disparaissent, el c'est là un des plus grands avantages de la méthode, pour deux raisons faciles à comprendre. La première, c'est que nous si\ivons des règles de calcul fixes, invariables, qui dispensent l'esprit de toute étude spéciale des conditions de la question, ce qui n'a pas lieu en Géométrie. La seconde, c'est que, les règles établies étant générales, les transformations de calcul se trouveront indépendantes de telle ou telle situation particulière des figures, si bien que souvent même on n'aura pas besoin de tracer celles-ci; ou sait qu'au contraire, dans les solutions purement géométriques, il faut particulariser, et que l'extension au cas le plus général d'une solution trouvée avec une disposition particulière des figures nécessite souvent une discussion délicate et laborieuse.

Enlin, lorsqu'il s'agit surtout d'un problème proprement dit, si une droite inconnue x est obtenue, une fois les calculs faits, au moyen d'opérations indiquées, à effectuer sur des droites données a, b, c, . . ., ces opérations répondront à des constructions géométriques bien définies. Par conséquent, la forme même de la solution s ^/(a, b, c, . . .) nous donnera un procédé graphique pour obtenir la solution désirée. Ce procédé, le plus souvent, égalera ou même surpassera en simplicité et en élégance ceux que donnerait la Géométrie pure.

PROCÉDÉS GÈM^HAUX.

Emploi de rélimiiiation.

62. H peut arriver fréqtiemment que le problème ne soit pas immédia lement réduclible à ccLLc forme simple x^^y(A,B,c, . . .), el que plusieurs inconnues soient engagées dans les équipoUences qu'on a dû écrire. On sera conduit alors à l'emploi de l'élimiDalion, qui présentera exactement les mêmes difficultés que dans l'Algèbre ordinaire, et sera soumis aux mêmes principes.

Emploi des équipoUences conjuguées.

63. On a pu remarquer qu'une équipollence équivaut en réalité à deux équations algébriques. Si la quantité qu'on cherche est essentiellement algébrique par sa nature, elle ne sera donc pas explicitement mise en évidence par l'équîpoUence qui la contient. Mais on pourra la faire apparaître par l'emploi de l'équipoUence conjuguée (46). Entre ces deux équipoUences on éliminera l'inconnue qu'on voudra, de manière à ne garder que celle qu'on désire.

Comme exemple très simple, soit ^^^ x -^-yi^rîSi et admettons qu'on ailx;^*; on aura aussi cj.x = cj.4. Si nous désirons obtenir x, nous écrirons x^= ■-■-■■■ - -;

y sera donné par . ■■■ - r par yj k cj, a , el par la

relation e" i=z i / ^ .

Mais on peut souvent se dispenser de cette élimination. C'est ainsi, par exemple, qu'ayant mis s sous la forme a + bi, nous pourrions, si nous désirions obtenir 9, écrire iniiïiédiatemcnt tangfi = -■

Méihode de décomposition.

6i, Une mctliode que nous aurons très fféqueiiimenl, occasion d'employer repose sur la décomposition possible d'une droite suivant deux directions données (12). Si une telle réduction est possible dans l'équipollence finale à laquelle conduit une question, et de telle façon que cette équipoUcnce soit de forme linéaire,

«.\B-^<.CD = û, il en résulte, d'aprè^i un principe établi pins liant (21), qu'on a séparément

Ces deux équations contiendront les éléments des figures étudiées, u el v étant fonctions de ces éléments, et l'on arrivera ainsi à établir les propriétés demandées ou à trouver les éléments que l'on cherche.

Il est essentiel de remarquer encore une fois qu'il n'y a pas de procédé infaillible à recommander et qu'une Jurande part est toujours laissée à la sagacité, soit dans la mise en équipollences, soit dans les transformations de calcul. C'est ce qui a lieu dans toutes les branches de la Science; et l'emploi des coordonnées lui-même, cnalgréson caractèrethéoriquede grande généralité, peut conduire, pour la même question, à des calculs inextricables ou à des solutions fort élégantes, selon le choix qu'on fait des axes et l'habileté avec laquelle on établit les conditions du problème.

Construction de quelques équipollences types.

6S. Il est bon de placer ici la construction de certaines équipollences d'une grande simplicité, qu'on rencontre à chaque instant dans les applications, et qu'il

PROCÉDÉS GtNÉRAUS. 65

importe en conséquence de se rendre, absolument familières. Nous nous abstenons à dessein d'emplojerici des figures, de crainte de particulariser des solutions entièrement générales. Le lecteur pourra dessiner lui-même les figures dans toutes les hypothèses possibles, afin de mieux s'assimiler les solutions. li nous semble suffisant, d'ailleurs, d'indiquer celles-ci de la manière la plus sommaire, car elles constituent de simples applications des principes exposés dans la première Partie.

66, Soit l'éqiiLpollencc s£"AB --: CD. On cherche z

Si l'on mène AE = CD, on aura