OA.BC PB .ÇA 0C^^
ifl(BOG — BAC) ~ ^'' sin(COA — CBA) ~ ^^ sin(AOB - AC"lî)'
En posant gr. OX^--p, gr. OB = q, gr. OC = r, BOC - BAC = -j . et désignant par a,, b, c les longueurs des trois eûtes, on a
aires des trots triangles OBC, OCA, OAB, ' donne alors
expression dont la forme symétrique démontre le théorème proposé. Interpréter les résultats pour un point quelconque du plan.
13. La somme des puissances d'un point quelconque par rapport aux circonférences décrites sur les trois eûtes d'un triangle comme diamètres est égale à la somme des puissances du même point par rapport ans circonférences décrites sur les trois médianes.
Ce théorème est une conséquence directe de la relation générale
qui se déduit immédiatement des formules du n" 53.
■ii. La somme des puissances d'un point quelconque par rapport aux circonférences décrites sur les quatre côtés d'un quadrilatère comme diamètres est égale à quatre fois la puissance du même point par rapport à la circonférence ayant pour diamètre la droite qui joint les milieux des diagonales.
Solution analogue à celle de l'exercice précédent. Corollaire relatif au cas où ie point est situé sur la circonférence ayant pour diamètre la droite joignant les milieux des diagonales.
58 l'nEJlIfcllE PARTIE.
IS. La somme des puissances des trois sommets d'un triangle par rapport aux circonférenees décrites sur les côtés opposés comme diamètres est égale à la demi-somme des carrés des côtés.
On appliquera la relation $„{a, d) = ®(i — c, d — c), ^^repvésentant la puissance du point C. Cette formule est d'une vérité presque évidente.
16- Déterminer le lieu géométrique des points dont la somme des puissances, par rapport à plusieurs circonférences données, est constante.
En prenant pour origine le barycentie G des centres des circonférences données, et en employant les relations déjà indiquées eidessua, on reconnaît que le lien ciierclié est une circonférence de centre G.
17. Soient trois circonférences, décentres G,, C^, Cj; soient leur centre radical et M un point quelconque du plan. On propose de démontrer que les différences des puissances de M par rapport aux trois circonférences sont respectivemeni proportionnelles aux projections des côtés du triangle CiCjCa sur la droite OM.
En prenant pour origine, on trouve, en effet, que ces différences de puissances ont pour expressions 2 gr.OM gr. C'[ C'j, ..., en appelait C'i, C's, C'j les projections des points C,, C„ Cj sur OM.
18. Exprimer l'aire d'un triangle au moyen des coordonnées rectilignes de ses sommets.
On remplacera toute droite OA par ic + yi", H étant l'angle des ases, iT et ^ les coordonnées du point A, et i! suffira ensuite d'appliquer les formules du d° 54.
Il est facile de déduire de là l'aire d'un polygone quelcopque en fonction des coordonnées de ses sommets.
19. Si plusieurs droites de même origine PAi, PAj, ... ont pour somme PS, le [moment de PS par rapport à un point O quelconque est égal à la somme des moments de ces droites par rapport au même point, ,
Le moment d'une droite PX par rapport à O étant, au facteur s près, exprimé par l'aire du triangle OPX, la proposition devient à peu près évidente au niojen des relations du n" 54.
EXERCICES. Sg
20- Trouver la somme des sinus ou des cosmus d'un ceriain nombre d'arcs en progression par différence.
a, a + B, ..., n-(- (n — ()fl étant les arcs dont il a'agit, on fera la somme des termes de la progression par quotient
En mettant cette somme sous la forme A + Bi, A sera évidemment la somme des cosinus et B celle des sinus (59).
21. Théorème de Moivre. — Soit une circonférence de rayon i, divisée en a m parties égales, ans points Aq, A,, . . ., As,„-i, ei B un point quelconque du plan. Joignons A^B, AiB, .,., Aa^iB, etOB qui coupe la circonférence en C.
Nommons ~ l'arc A^D; ce la longueur OB; et jo, ji, . . .,
y^/K-i les longueurs des droites AoB, AiB, .
On aura les deux relations
ux propriétés sont des conséquences bien faciles de la résoe l'équation binôme (ï5). Si nous prêtions en e£fet l'équa- — 1 = 0, elle se décompose en s" — i = o, s"' + 1 =^ o. oines de la première sont i, e*", ,.., s*!"'-'!^ et celles de la
seconde t", îSO, . .
, 5(!"'-i)tl^ en posant 6 = —
. Prenant OA,
gine des inclinai se
.ns, les racines de s- - 1 = c
',(^,)> « l'on a"
ra l'identité
= A,X.A.,X.,.Aj(„^,)^'
quel que soit OX. Remplaçant OX = x par OB — iCe'", et égalant les grandeurs des deux membres, on a la première relation demandée.
De même pour la seconde, en partant de ï"" + 1 — o.
Il est difficile d'imaginer une démonstration plus simple et plus naturelle du théorème de Moivre.
22. Les données étant analogues à. celles de l'exercice pvccédenl, mais la circonférence ëlant supposée divisée en 4 m parties
Go rnEMiiiRU paivtse. — c.hapitbh (k — exercices
égales, en A„, Ai,.
., A,,„,, on aura les quatre relatic
(jonn ■
.:^„„,l)2 = ^""-3:^'"cosa + i,
(rm ■
■ ■ 7w»-3)* - ^^"' — aa:"' sin« + 1,
-/im-s)* = 3^'™ + 23:"» cosa + 1,
(r>ji
■ ■ J'iMi-i)" = 3:""^.aa^m sina-Hj.
Cette généralisatio
du lUéorème de Moivre se démontre d'
tout à fait analogue
en décomposant le binûme s"" — i en
SECONDE PARTIE
