APPLICATIONS AU

point O, par la relation

(i) OG =^(0A -1- OB + OC) ou GA -i- GB -i- GC = o. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que ce point G coiipe chacune des médianes aux | de sa longueur à partir du sommet correspondant.

93. Le barycentre G' du système des poids p, q, r, respectivement places en A, Ë, C, serait obtenu par l'équi pollen ce

(^H^ + ,.)OG'=/iOA + <7 0B-^7-OG, ce qui donne aussi la formule

/»G'A-i-5iG'B-i-/-G'C = o.

Si nous plaçons en B, il \ienl

(jOH-g + ,-)BG'-joBA + j-BG.

Multipliant celte équipoUence par cjBG, puis la retranchant de l'équipollcnco conjuguée, on obtient

(^ !- ^ + r) aire BG'C=i). aire BAC,

et l'on aurait deux autres expressions symétriques.

Donc les aires BG'C, CG'A, AG'B sont proportionnelles aux poids^, g, r. Pour le point de rencontre des médianes, considéré au numéro précédent, les trois triangles BGG, CGA, AGB sont équivalents.

Cercle circonscrit.

94. Soient R (J^g- 29) le centre du cercle circonscrit au triang;le ABC, et r le rayon de ce cercle. Appelons }., ]A, V les inclinaisons respectives des rayons RA, RB, RG. Nous aurons

RA = /•£>, RB ï= rtV; RC = I-J-'

gS SECONDE PABTlIi. — CHAPITRE lli.

et

c'est-à-dire donc

à la condition toutefois que v — \j. soil. posilif. Dans le cas contraire, on aurait

On a donc toujours

1 obtiendrait de même

et, par soustracUon,

en vertu du n" 91, à une circonférence près.

En résumé, nous avons les formules

APPLICATIONS AU THUNGLE.

On peiil écrire aussi

pH

ce qu'il serait bien facile de vérifier géométriquement.

Il faut seulement remarquer que les relations entre les angles peuvent n'être vraies qu'à des multiples près de aiT, si bien qu'on n'est pas autorisé à les employer dans le calcul sans vérification attentive. Mais on peut, en toute sécurité cependant, les multiplier par des nombres entiers sans qu'elles cessent d'être exactes.

L'aire du triangle RAB est i^fig- 29)

Les aires des triangles RBC, RCA, RAB sont donc

proportionnelles à sinaA, sinaB, sinaC, et par conséquent (93) le centre R n'est autre que le barj'centre des

100 SECONDE PiRTIE, — CHdPITBE III.

poids siii3Â, sinaB, sinaC, placés en A, B, G, ce qu'esprimeraréquipollence

(a) RA sinaA + RB sînîB ^- RG sin^C ^ o.

Voici encore un mode de déLerminalion du poinl R qui penl avoir de l'intérêt dans ccrlaincs applications. On a évidemment

GR = iGA(i -1- xi) = iCB(i + yi), donc

CA(i-4-370 = CB(t^jj).

Ecrivant l'équipollencc conjuguée et éliminant y entre les dens, il vient

. aGB.cjGB — CA.cjGB — cjCA.CB ^'~ GA.cjGB — cjCA.GB '

d'où

GA.cjGB— cjCA.CB ^s

s représentant l'aire du triangle.

On aurait par symétrie deux autres formules pareilles donnant AR et BR.

Point de rencontre des hauteurs.

9S. Soit H (Jlg. 3o) le point de rencontre des hauteurs issues des sommets B et G- Nous avons

HC = izXB, HB = ijGA. Delà

BG= i(aAB— ^GA), CB __ ./ AB \ î G- 7 ^ -A^ \

GA ~'l,^AG "^^/ °'' 6' 'r^' V'

Éliminant/ entre cette équipollencc et sa conjugiiée, on a

APPLICATIONS AU lElANGLE. lOI

c'esl-à-dire

z = " ^^ = cote,

li est clair, par raison de symétrie, qu'on aurait trouvé la même valeur pour s en cherchant l'intersection des hauteurs issues de A et C, ce qui démontre que les trois hauteurs se rencontrent en un même point. On a de même

X = cotA., y = cotB.

Par conséquent

HC.tangC = t'AB, HB.tangB= iCA, HA.taiigA= (BC; d'où, par addition, (3) HA.tangA-+-HB.tangB-(-HC.I.angG = o,

ce qui nous montre que H est le barjcentre des poids tangÂ, tangB, tangC, placés en A, B, G.

Il est facile de reconnaître que l'on a

ay-^js + 3.