B.GA

Dell

H.H.= '"'''"°'. :^ '"'''^° -'i'.AB=-ato5ll.t».AB,

et de même

Les deux triangles HaHjHe, ABC sont donc directement semblables. Le rapport de similitude est 2 cos 9, si bien que pour 6 r= 60° les triangles deviennent égaux. L'aire H^HiH^ est égale à 4cos2 0.aireABG.

Soit toujours (95) H le point de rencontre des hauteurs du triangle ABC. Formons l'expression HH„. Nous aurons

in(i)-CjJ

La longueur de HHa est donc celle de -^-^cosB, ou ir cos 9, c'est-à-dire indépendante du sommet considéré Ha. Il s'ensuit que II est le centre du cercle circonscrit à H«H4H„.

Il est bon de remarquer, par analogie avec le calcul précédent, que d'une manière générale l'expression

peut prendre la forme

et qu'en conséquence sa grandeur sin(o pendante de a.

- 6) est indé-

Io6 SECONDE PAUTIE. — CIIAPIIHE m.

Circonférence des neuf points.

99. Les quatre points A, B, C, H sont tels que la droite qui joint deux quelconques d'entre eux est perpendiculaire à celle qui passe par les deux autres. Soit O ifig- 33) leur barjcentre. On aura

OA-i-OB + OG-h OII = o,

co qui nous donne, en vertu de l'équipoUcnce (4,)j

Ce point O est donc le milieu de la droite HR.

Si nous considérons les cercles circonscrits à HBC,

IICA, IIAB, leurs centres Ro, Rj, R^, en raison de la symétrie parfaite entre les quatre points A, B, G, H, satisferont aux relations

AO = ORû, BO = OR/,, GO = OR^.

Les deux figures HABC, RRaEiRc sont donc égales. Il existe entre elles des relations remarquables de réciprocité. Chaque droite de l'une divise perpendiculairement par le milieu une droite de l'autre; et chaque