APPLICAÏIONS AU TRIANGLE. . IO

sommet de l'une est le centre du cercle circonscrit h l'un des triangles que forme l'autre.

100. Le point O que nous venons d'obtenir est digne d'attention. Nous avons totit d'abord

OA -^ OB = HO — OC == Oft — OC = GR,

c'est-à-dire, en appelant C<, le milieu du côLcÂB,

oc. = 5!.

Le point est donc le centre de la circonférence qui passe par les points Ao, B^, Go- Le ravon de celle circonférence est la moitié de celui du cercle circonscrit.

Sur celte circonférence, le point C, directement opposé à Co, sera donne par

OG - - *^ - OC -OR OCj-OH

Donc la circonférence en question coupe en leurs milieux les droites HA, HB, HC.

Si l'on désigne par A) , Bi , G) les pieds des bauteurs. il est clair que ces points sont aussi sur la circonférence,

isque II

s A'A)Â(|, . , . sont droits, et que Aj, A.'

est un diamètre.

De là cette dénomination de circonférence des neuf points, savoir An, B,,, Cq, A', B', C', A,, ]^^, G,.

Cercles inscrit et exinscrits.

■101. Soit I {Jig- 34) le centre du cercle inscrit au triangle ABC. Les aires AIB, BIC, CIA sont proportionnelles à c, a, 6, les hauteurs de ces triangles étant égales. Conséquemmcnt (93) I est le barycentre des poids a, h, c, ou sinA, sinB, sinG, placés en A, B, C,

I08 SECONDE FARIIE. — CUAPimE III.

ce qui donne

(6) lA.sinA + IB.sinB + IG.sinC = o.

Si maintenant, sur la circonférence circonscrite ABC, nous prenons les milieux Â^', B", C" des arcs BC, CA, AB, il est facile devoir, soit géométriquement, soit par le calcul, que AA", BB", CG" sont les bissectrices des

angles A, B, C, et que ces droites sont en même temps perpendiculaires à B"C", C'A", A"B" respectivement. Ce sont donc les hauteurs du triangle A"B"C", et leur point de rencontre commun est I.

Ce point jotrc donc par rapport au triangle A"B"G" exactement le même rôle que H par rapport à ABC, et par conséquent, en vertu de la relation (4), nous avons

(7) RI = RA''h-RB"+RC".

On reconnaîtrait bien aisément que les centres I„, I^, 1„ des cercles exinscrits sont fournis par les relations

RI„= RA^'-RB"— RC%