B2 = IC.ID = 1C'.ID

Par conséquent

c'est-à-dire que les deux triangles ICD', IC'D {fig- 4?)

QUELQUES QUESTIONS DE GÉOaÉTRIË SUPÉRIEURE. |6:>

sont semblables; on oblîendra donc le point I en résolvant le problème déjà traité plus liant (77). Ce point obtenu, on mènera la bissectrice commune des deux angles CID, C'ID', puis la perpendiculaire en I à cette bissectrice; on fera passer deux circonférences, l'une par CD, l'autre par CD', ayant leurs centres sur cette perpendiculaire, et la corde commune AB à ces deux circonférences donnera la solution demandée.

Il est visible que si les deux circonférences coïncident, c'est-à-dire si les deux cordes CD, CD' ont leurs

à l'intérieur, AB sera la corde polaire de leur point de rencontre P.

Rapports anharmo niques.

139. Etant donnés i[uatre points A, B, C, D sur un plan, on peut les grouper deux par deux, A et B par exemple d'un côté, et C et D de l'autre.

Ceci étant fait, on appelle rapport aiikarmo nique de ces quatre points le rapport géométrique

AG . BC AG.IÎD AIJ ■ iJ7J " k\ï7m "

Si l'on combine deux à deux les quatre points donnés de toutes les manières possibles, on reconnaît qu'on n'obtient jamais, en fin de compte, en dehors de jjii, que les deux autres rapports

AD . CD AD.CB AB ■ CB ~ AB.CU ~ ^"'-' AB DB AB.DC AG ■ Ï)G ~ ÂGTDB " ^^'

et aussi les rapports inverses ~ . —, — ^^ fl i»! i'^.

Si nous examinons ces valeurs, nous voyons lout

ibo SECO.NDE PARTIE. — CHAPITRE Vi.

(l'abord qu'on ;i

Ea outre, la relalioii du n" 8ij (3) AB.CD-f-AD.BC = AG.BD

donne

Ces relations [lermettcnl d'obtenir immédiatement les divers rapports anharmoniques de quatre points quand on connaît l'un d'entre eux. Par exemple, dans ie cas de la division harmonique (135), îe rapport ^i est égal à -I.

On en conclut immédiatement

Fî = i et ti3 = î.

Lorsque, sans être précisément égal à — -i, le rapport [i| est réel, les deux autres rapports jj-^ et [Xj le sont aussi, et, dans ce cas, la simple considération des angles montre que le quadrilatère ABCD est inscriptible, et réciproquement. Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour qu'un quadrilatère soit inscriptihle, c'est que le rapport anharmonique de ses quatre sommets soit réel.