AC AD

et l'on dira que la droite AB est moyenne harmonique (en grandeur et en direction) de AC et de AD.

Si S est tin point quelconque du plan et si I, K sont les points milieux de ÂB et CD, l'équipollence (i) peut encore prendre la forme très générale (3) SA.SB + SC.SD = îSI.SK.

Si nous portons le point arbitraire S en I, nous

ii) IC.ID -= liî^

Si nous le faisons coïncider avec le centre O de la circonférence, il vient, en appelant OE, OG les rayons dirigés suivant 01, UC, (5) OE'-^OGî=: ^01. OK.

136. L'équipollence (4) montre que IB est bissectrice de l'angle DIC. Donc, cette droite coupant CD an point L et la perpendiculaire OIE coupant CD en P, les points P et L formeront avec CD une division harmonique sur celte corde.

Il est d'ailleurs extrêmement facile de reconnaître que le point P est fixe. En effet, si l'on divise par 01 la relation (5), il vient

Les deux termes du premier membre ayant même

QUELQUES QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE SUPÉTIIEURE. iC>'A

et comme celle-ci a pour direction OE, il en rcstiitc évidemment

valear indépendante, comme on le voit, dn point K et, par coiiséqnent de fa corde CD.

Ce point P e it le pô/e de la droite AB, qui, réciproquement, est la polaire de P. De même on a

et Q est le pôle de CD.

Les propriétés des pôles et polaires par rapport au cercle et aussi par rapport à un angle, sur lesquelles nous n'insislonfi pas, afin d'abréger, s'établiraient facilement au moyen de la méthode des équipollences-

137, La formule (s), lorsqu'on cherche à l'étendre à un nombre donné de points, conduit à une intéressante généralisation de la moyenne harmonique.

Soient O un point pris pour pôle et Â,, Aj, -.-, A„ des points donnés. Si nous écrivons

OM ~ OAi OÂ,

nous dirons que OM est la moyenne harmonique des n droites rayonnantes OA,, OA^, ..., 0A„.

On peut aussi considérer la moyenne harmonique de plusieurs droites, en les supposant affectées de coefficients algébriques; elle est alors définie par l'équlpollence

ÔA„

La transformation par inversion, sur laquelle nous aurons à revenir plus loin, rend à peu près intuitive

ifi/i SECONDE PARTIE.

cette proposition, s'appliquant aux deux définitions (6) el(,):

Si les points O, A,, A^, . . . , A„ son/, tous situés sur une même circonférence, la moyenne harmonique des droites Ok,, OAj, ,, ., Ok^ason extrémité située sur cette même circonférence.

138. Nous terminerons celte question de la division liarmonique par la solution bien facile du problème suivant : Etant données deux droites CD, CD', en trouver une troisième AB qui forme avec chacune d'elles une division harmonique.

Reportons-nous à la fig- 46 et appelons toujours I ie milieu de AB. L'équipollence (4) du n° 135, successivement appliquée aux deux droites CD, CD', nous donnera