N = M H- MN
Conslruisant (480) £= - 1 cl appelanl \, le poinl diamétralement oppose à A
0^' = AiEcosi, On a aussi
par conséquent les deux triangles Ai OE, OPN sont liomothétiqaes.
Si OA, OB sont les demi-axes, MN est la normale, et elie coupe l'abscisse OQ dans un rapport constant.
L'équipollence (5) du numéro précédent démontre, d'après la valeur de (J3m, que la normale est bissectrice de l'angle des rayons vecteurs.
Si, au moyen des valeurs (3)et (6), on calcule (133)
le rapport — =nt + ([>., on trouve
__ ab
'^ ~ ((' sin' t ~h b^ cos* t
Par conséquent, la podaire par rapport an centre a pou r équipoUence
. ^ ab(bco»t^iasint)
182. Hayon de courbure; développée. — La conslruction du rayon de courbure de l'ellipse s'effectuera, ainsi qu'on l'a vu au n° 1S5, de la manière la plus facile. Quant à l'équipoUence de la développée, nous
APPUCATIONS A LA Tllf.OUll! DES COTIKHKS,
robtiendrons en remarquant touL d'abord qu'on a (D^l ^- — acost — ibûnt^-M.
Donc
COSL
'aleur \ (163) est égale à
«5 si
On trouve alors pour l'équipûllence cliercliéti
(8) . = . + |(B„ = ïi^(6™.,-^i<„i„.,);
ou remarquera que OP. MR = ®m^.
183. Enveloppe des droites joignant les pieds des coordonnées. — L'ellipse étant rapportée à deux diamètres conjugués OA, OB, soient MP, MQ(ftg. 5<))^çs
dciix coordonnées d'un point de la courbe, et propo sons-nous de trouver l'enveloppe des droites PQ. ]\ou( aurons
OP = Acosr, OQ = Esin/,
TiO SECOND!! PABl'lË. — GHAPITllE Vil.
el un point quelconc^ue de PQ s'exprimeia par
OX = T.OP-t-(i-i:)OQ, Delà
Cette équipoîlence représente le système des droites l'Q, si l'on regarde i comme variant de point à point, et ( de ligne à ligne. Dans le cas inverse, l'équipollence représente évidemment un système d'ellipses. On sait que les deux enveloppes sont les mêmes et qu'on les obtient (166) par la condition (Bjx || iStX. Or
(0(S - " XX siat-t- (1 — ■c)B cost,
QtX = ACOSÏ— Bslii;.
La condition est donc
xsnit cosC
L'enveloppe cliercltée a alors pour équipolleiice
{[]) X = A cos'(-l- u sin't.
Il est facile d'en discuter la forme, d'après cette relalion (9).
184. Trajectoires obliques d'un système d'ellipses homo/ocales. ~ L'équipollence (r) ii= acast-v- ibsinl
nous représente le système de toutes les ellipses liomofocales si a et 6 sont variables et liées par la relation
f étant conslante. Nous pouvons donc poser
APPLICATIONS A LA TIIÉOHIE l
et l'équipoUcnce (i) devient alors
(lo)
3j=/(ChTcos(4-iSliTsin(V
De là
ffiiii '■
En
noii
s re|îorla!it aux notations du n" 167, non;
voyor
LS dû
iQC qu'on a c =^ o, ^ =^ — ' , et l'équalion d<
condl
tlon
(33) devient
d'oh
nous supposons constant l'angle a.
Substitnant dans l'équipoUence (lo) et posant
il vient
pourréquipoUence de la trajectoire demandée.
Hyperbole-
185. Equipollence; diamètres conjugués; foyers. — Les analogies avec les propriétés de l'ellipse noui^ permettront d'abréger beaucoup, en nous reportant aux a"' 179 et suivants.
L'équipoUcncc de la courbe peut évidemment s'ccriro
(i) «1 ^aCh(-f-i&Sli(,
en posant - ^^ Ch(, — =^ Sb/.
Les droitcri
i 11 = aSha+^èChcc
sont deux demi- diamètres conjugués. L'équipnllence de Ig courbe peut s'écrire encore
(3) iit=^ .vGh(-i-iiSh(.
Il esL à remarquer que les équipollences (i) et ( 3 ) ne donnent que la moitié de la courbe quand on fait varier (de — oo à -+- oo; c'est sans inconvénient.
Sur les expressions (a) on vérifie immédiatement les théorèmes d'Apollonius. De plus
(4) a2 — b2 = a^^fi-' = u^ et cela donne les deux foyers F, F, .
De la relation (4) on tire
(5) bs = AF,AF,,.
résultat d'une interprétation évidente.
Pour avoir les foyers, connaissant deux diamètres conj\igués, il n'y a, d'après la relation (4)i qu'à construire la moyenne proportion ueDe entre aH-b et
186. Tangente; normale; podaire. — La dérivée de l'équipoUence (3) (6) (D.M" AShî-1-BChi
donne la tangente en M; les droites m: et lÔm représentent deux demi-diamètres conjugués.
Si l'on cherche l'intersection S de la tangente avec la droite OA, on trouve
0S.0Q = a2, Q étant le pied de l'ordonnée du point
APPLICATIONS A 1,A TnÉOHlH DES COURBES, 37,3
La relation (5) nous montre que la langenle est bissectrice de i'angle des deux rayons vecteurs.
Soit MN= ~ =BSh(+ ?^ Chï. Cette droite forme avec la tangente un angle égal à AOB. Con-
struisons MjN' = —- MN; nous obtiendrons
Or-I'-: EAChi,
les triangles 0A15, OBE étant direetement semblables. On aurait aussi
QN' = EOClif,
si bien que les triangles OQN', AOE sont homolliétitjues.
Quand OA, OB sont les demi-axes de la courbe, la droite MN n'est autre que la normale.
L'équipollence de la podaire par rapport au centre se trouverait comme pour l'ellipse ; c'est.
" éCll(-!-i«Slli
32(1 SECONDIi PAIITIE. — tUAPITIlB ï[l.
