Hayon de courbure; développée. — On y : ©'s

MR ^ 4 (Bai

pour l' équ i polie ne e de la développée.

Ici, on a OP.MR = — (Dm^, ee qui fournit une co struction des plus faeiles pour le rayon de courbure.

188. Asymptotes. — Reprenons la relation (4); nous posons a-i-i!=^k, K — ^i^^k, nous pouvons V

eL il est visible que les droites k, Ki, de directions constantes, sont les asymptotes de la courbe. En cherchant les limites de (Bm, pour t = ±<xi, on vérifie tout de suite que les asymptotes sont les limites des tangentes.

Si l'on pose {fig- 6 1 )

L = K Sh ï, Li = Kl Sh t, l' = K Ch (, l; = K, Gh (,

on voit que ML est une parallèle à un diamètre transverse terminée à une asymptote, LL, et L'ML'^ des parallèles au diamètre conjugué limitées aux deux asymptotes. En appelant Q le milieu de ML, on a

2Q.1.M =,v2, ML'.ML',= -u=, aQ.ML' = ML.M].'i^ ah,

APPLICATIONS A LA THlSORlË DES COUBBES. 2Û,)

résultats d'une vérification immédiate et c[ui donnent tintant de propriétés géométriques.

L'équipoilence (3) de la courbe peut s'écrire aussi

équipollence qui répond h l'équation de riijperbolc rapportée à ses asymptotes.

Nous ne pousserons pas ici plus loin l'étude particulière de riiyperbole, et nous nous bornerons à faire remarquer que, dans le n° 184, l'équipoltence (lo) représente le système des hyperboles homofocales, lorsqu'on y regarde ( comme variable de courbe à courbe et T comme variable de point à point sur la même courbe.

Il est intéressant de remarquer que cette équipollence (lo) peut encore s'écrire

M-/Gh(T

Sous celte forme C

ie, l'équipoilence représente u

226 SEGONBE PABTIlî- -

ellipse, lorsque t est constant et ( variable; une hyperbole, lorsque t est variable et t cODstant; un système soit d'eilipses, soil d'hyperboles homofocales, lorsque T et ( varient simultanément, ainsi que nous l'avons dit plus haut.

Oscillation d'une coniqiiâ avec une courbe.

189. Soit (^^.62) une courbe donnée, M l'un de ses points, MV la direction de sa tangente en M ; Téqui-

pollence d'une ellipse de centre O tangente à la courbe en M sera, si nous appelons N un quelconque de ses points,

MN = ([ — cosi) MO -!- sinîMV.

L'équipollence d'une hyperbole de centre O' sera, en écrivant 0'M = MO,

MN-(Gh( -i)MOm Sh(MV.

Proposons-nous de donner à cette conique, ellipse ou hyperbole, un contact du quatrième ordre avec la courbe. Pour cela, calculons tes dérivées successives, dans l'hypothèse de l'ellipse, en considérant t non pas comme variable indépendante, mais comme une certaine fonction de lavariable indépendante figurant dans

l'équipollence de la courbe, Nous aurons CBn =(siiimO-+-cos(MV)(B(, œ'N = (cosïMO — siiiiMV)0(ï,

-i-(siniMO -HCOs(MV)(D»i, (S3N = (-sintM0 — cosiMV){Bi>

H- 3(cosiMO ^ sintMV)(Ëit(a^t

+ (sintMO + cosiMV) J3!(, tBiN = (— cosiMO + siniMV)(D(*

-h&i-fymtMO - costMY) m^Oà^t

-i-3(cosïM0 -siiiiMV)(Bî(>

-i-4(cosïMO — sinîMV) (ÏWlS^i

+ (siniMO -H co5iMV)(BH.

Pour l'hyperbole, il faudrait évidemment remplacer «in et cos par Sli et Ch et substituer des signes 4- à tous les signes — .

Si maintenant, faisant f^o, nous exprimons {i65) ^ne les dérivées ©m, (B^m, . . . sont identiques aux expressions que nous venons de trouver, nous e pour les conditions du problème, en réunissant !e ■des deux coniques,

©=M = 3CEi(ffl*(M0 -^ (CE)î( =F Qt^) MV,

©» a - (=F O** + 3 ffiî(! -H 4ffi( (t)3 1 ) MO

+ ( zj:: 6 (Bi* ®î f -H 03' ( ) M V.

Posons maintenant

«l les équipoUences ci-dessus deviendront (i) iS>M = pM.Y,

(3) (DHn-3g'(»2M = )-(ÔM,

PAllIIE. — CHAPITRE VU.

S reprcsenLaiit une quantité algébrique qui est égale à — 9/' ?+ io^^-l-4''îH -Le signe supérieur repond au cas de l'ellipse et le signe inférieur à l'hyperbole.

Si l'on rapproche les relations (2) et (3) des équipo!lences (27) et (26) du n" 163, nous voyons tout d'abord que MO n'est autre que la droite diamétrale MW.'

L'é qui pollen ce (3) donnera les valeurs de q et de /■; l'équipoUenee (4) permettra d'en déduire la valeur de ± 3/>*; si cette valeur est positive, on pourra dire que la courbe est à courbure elliptique; et à courbure hyperbolique si la valeur est négative; si elle était nulle, on aurait, au point considéré, une courbure parabolique.

190. Supposons, comme nous l'avons déjà fait (164), que la courbe donnée soit rapportée à des coordonnées rectilignes, et que x soit la variable indépendante.

Alors, d'après ce que nous avons vu, les relations (3) et (4) se réduiront à

ffi'j— ([5<72 b3/>2)(057 =0, cl, par suite, il viendra

Le signe du second membre indiquera donc de quelle espèce est la courbure.

191. Appliquons ceci à la développante de cercle (102) dont l'équlpollencc est

On a

(Bm = îe', (SHi = (i+iO''.

La relation (3) se réduit à ce qui donne

L'équipollcnce (4) donne alors

et, en aiiniijant le coefficient de t,

(6) +if.3-'.-^,-

Cette valeur étant essentiellement positive, la développante de cercle a une coiirbure elliptique en chacun de ses points. Les relations (i) et (a) serviront à déterminer les deux diamètres conjugués MV, MO de l'ellipse oseulatrice.

La spirale logarithmique (168) ayant pour équipollence

la relation (3) donne d'où

La relation (4) se réduit alors à

(a^ rr^ - {—■ -/,a^-i± 3p^^ (a + = s,

yGoosle