I»* PARTIE. — CHAPITRE II. -^ $ IV. 4S

tiré aussi une méthode très-e^tpéditive pour en calculer les ooelB-» cients, et dont il a bien voulu me donner une communication sommaire. Le principe dont, probablement, ce célèbre géomètre est parti me parait être le suivant :

3. Si Von prend dans une des parties (a) ou (b) du déterminant (8) (page 34) tin déterminant de m*"* ordre [on suppose ici m=:n) formé avec les colonnes de rang r^, Tj, ..., r^, en allant de gauche à droite, les termes qu^il contiendra seront tous de poids

Démonstration. Il est d'abord évident que les différences des in dices des éléments (a) des colonnes r,, r,, .,., r^j av^c iteui des éléments (a) de la colonne r^, en supposant pour le moment qu*on 4it remplacé progressivement les par des éléments de la forme a^^/, a^i, sauf à les annuler ensuite, seront

Soit maintenant t Tindice du premier élément de la colonne r^, les indices des éléments situés sur la diagonale du déterminant ainsi formé, que nous appellerons A et que nous désignerons ainsi :

A = |f^9 Tj, fj, •••, ^ml * seront

t, t+r— fj — 1, t+r, — fj — 2, t4-r4 — r^ — 3, etc., ..., t+r„— fi— (m— 1).

Par conséquent, le poids du produit de ces éléments sera

maïs on a évidemment ri= i+ 1 ; donc ce poids sera bien

Or, si le poids de la diagonale a cette expression, celui des autres lignes quelconques qui passeront par les éléments du déterminant susdit aura encore la même valeur. On s'en convaincra aisément, eu observant que, si d'un côté, les indices croissent avec les rangs des colonnes, ils diminuent de la même manière lorsque le rang de lignes augmente.