I" PARTIE. — CHAPITRE II. — § IV

en b, le déterminant 8= | r\r\r..rfn \ doit être le même que celui qui résulte du changement de a, en a^^i dans le déterminant A. Or, par réchange de a, en a^^i, le déterminant

A= I r j r j... ffn I y deviendra

A=:|2m+1— r\, 2m-+l— r,, ..., 2m+l— r^|, dont le poids sera

Hais on a Sr+2r'=!!:il?!|±îl;

donc ce poids sera

c'est-à-dire égal à celui des déterminants A déjà calculés.

Ainsi, les déterminants B conjugués de poids q sont identiques à ceux A de poids j), sauf le changement de ai en 6,„,-.

Il faudra seulement remarquer que le produit AB des deux déterminants entre dans la résultante avec le signe + ou -— , suivant que la série des nombres

requiert un nombre pair ou impair d'échanges pour être restituée à l'ordre naturel 1.2.3.. .2m.

On voit par là que le développement entier de la résultante se réduira au simple calcul des déterminants A.

Un exemple seul nous servira à bien comprendre et apprécier la méthode. Supposons que nous ayons à calculer le quatrième tableau de R3, qui, d'après la notation actuelle des coefficients, deviendrait

m THÉORIE GÉNÉRALE DB L'ÉLIMINATION.

Dans ce cas, la résultante R serait le déterminant

Oo

Oo

fli

Ol

ft,

sur lequel nous avons, pour plus de clarté, numéroté les colonnes.

Or, les déternniinants A du poids 3 sont évidemment les Suivants : (126), (135), (234); et, en réunissant dans un seul tfibleaa les termes qu'ils fournissent, on a

Oiflldi

Les déterminants conjugués, pris avec leurs signes convenables, sont — (345), — (246), — (156). Mais, d'après ce que nous àvofls remarqué ci-dessus, leurs côefBciènts sont identiques à ceux des déterminants A, — (234), —(135), —(126), sauf le changement de ai en h^^i. Par conséquent, ces déterminants B dqnQerqi^l

(334) (135) (li6)

-ft

«•«ft,*

6ob,6.

OÙ les coefficients sont cdux dd tableau précédent, changés de place et de signe. Maintenant il n'y qura plus qu'à multiplier les lignes horizontales ensemble, terme à terme, pour retrouver les coefficients du quatrième tableau de Rg* Ainsi, celui de a^^a^hj)^ sera

V* PARTIE. — CHAPITRE H. — § V. «f

Méthode du plat grand ooiaiyiiip dlîvifeur.

Sans entrer ici dans les détails de |a théorie du pins grand commnn diviseur, qa*on trouve dant tous les Traités ordinaires d'algèbre , il nous suffira de rappeler: 1^ qu'étant données^ les deux fonctions ^ et ^j leur plus grand commun diviseur est égal à celui qui existe énttô deux restes conséobtift; 2** que si un des restes s'annule, le quotient • correspondant k la division qui le fournit est \& plus grand commun diviseur cherché.

Il est évident qu'en poussant jusqu'au bout les calculs, on arrivera finalement à un reste, qui ne contiendra plus la variable et sera fonction sedlettiënt des coefficients. Suivant que cette fonction s'an-^ nule ou ne s'annule pas, les deux proposées adtiiettront ou non Une racine commune. Par conséquent, d'après ce que nous avons dit au paragraphe I", ce sera la résultante elle-même. Noti§ avons doiic titi autre procédé pour trouver la résultante, qui, dans les cas par* tîculiers, peut être plus expéditif que les autres, et qui a TôVantage en outre de fournir immédiatement les racines communes, s'il y en d, à la seule inspection des quotients.

Il tie sera dond pas inutile qu'à cette occasion nous nous étendions sur l'expression analytique des restes, afin d'avoir un terme de comparaison pour tout calcul numérique.

Les deux fonctions proposées, quelles qu'elles soiept^^ peuvent toujourSy avant de les assujettir à la méthode du plus grand commun diviseur, être réduites à deux, une de degré w, Tautre de degré m — 1. Soient

ces fonctions; et appelons r—R^, — iR,, etc., les rested, afin d'ïjp-^ pliquer au besoin nos foripules au théorème de Sturm. On aura

/ p=gr,û R4,

Ri=gjRjj — R3, (2) { R,= Î3R3— R4»

R»-i= îiRj — Rn-i»

\ Ri = îi+iRt+i — Ri+2»

9o« 9i9 9si 6tc., étant les quotients successifs. On tire de là Ri=îoQ— P» R.=(îo?i— 1)0— ïiP»

R3={(îogi— i)?«-îo}Q— (îiî,— i)P.

et, en géoéra],

(3) Ri=P,P+QiQ,

où Ri , Qij Pi sont des fonctions de degré respectivement m — t — 1, f, f — 1, qui renferment par conséquent m — i, t+l, t coefficients. Or, on peut, à l'aide de la méthode des coefficients indéterminés» trouver à priori les valeurs de ces coefficients. En effet, comme le second membre doit se réduire à une fonction de (m — % — 1)'"*' degré» en égalant à zéro les coefficients de w-Vt — 1 — (w — t — l)=2t premières puissances de x, on obtiendra 2t équations linéaires entre 2f+l coefficients arbitraires, par lesquelles on déterminera leur rapport à l'un des deux pris à volonté. Appelons celui-ci ^; on pourra évidemment mettre P^, Q^, R» sous la forme

(4) P.=A,(PO, û,=X,(QO, Ri=A|(Ri),

(Pf), (ûi), (R») étant des fonctions entières des coefficients a et b. Alors l'équation (3) deviendra

(5) (RO=(P.)P+(Qi)Q-

Le tout donc se réduit à trouver les valeurs de (P»), (Q<), (Ri), ^. Posons

Pi=y, xf-' + yi aî*-2 + 720?*"'+ . . . + /<-.!,

(6) \ Qi=i,af + d,af-' + d,x'-'^+...+ii, R,=p,aî«-^*+p,a:«'-^-^+p^-^-«+...+f)«,^-i;