PARTIE. — CHAPITRE IL — § VII

ctomme le produit de l'éliminatioD des m variables entre m équations linéaires, qui seraient les m dérivées par rapport à chacune de ces variables d'une même équation de deuxième degré. En s'appuyant sur les travaux de Jacobi et d'Hermite, on peut mettre cette propriété bien en évidence.

On tire des équations (2) et (3) du paragraphe précédent celles qui suivent :

/o«"*""* + liSf^'+ kaf^''+. . . -f- im-i= SV*^""'"^^"*"'

— {m6oa?"»-*+ (m— l)6ia?'"-^+(m— 2)62aj'»-'+...+6„-i jç; d'où

2;>r,^-*"''aî'»-*-*= ^ {x) <pX^)-9 {x) f{x).

Or, si dans le premier membre de cette équation on plaçait les exposants m — 1 — r, m — 1 — s en indices, on obtiendrait une équation de second degré entre les variables ^o> ^i» ^«> •••> ^m-i- D'ailleurs, le second membre est la valeur de la fonction

pour y = â;. Ainsi, pour avoir l'équation du second degré qu'on cherche, il suffira de calculer la fonction

?(^)f(y)-<p(r)HS)

et de changer ensuite les diverses puissances de ^, ^^ telles que ^ , S*' en Xi^ Xi. Cela fait, on formera les dérivées Da?o> Da?,, ..., Da?«,i de cette équation, et en éliminant de ces dérivées égales à zéro les m variables Xq, ^i, ..., a?,»|, on obtiendra la résultante cherchée sous la forme (4). Il est bien évident qu'en changeant de nouveau, dans ces dérivées, les indices en exposants , on aura précisément les équations (3).

Hais on peut déduire des mémoires de H. Hermite, insérés dans le Journal de Crelle, une démonstration plus directe de cette proposition qui se rattache à la considération des racines.

58 THÉORIE GÉNÉRALB DB L'ÉLOONATION.

Soit l'équatioa du ucood degré,à m variablét,

formons-en les dérivées

IdF IdF 1^ IdF

Sd»' trfy' a</8' '•" 2do'

qui seront des fonctions homogènes et linéaires eo x,y, s, ..., v, J« dis en premier lieu que la résultante de ces fonctions égalées à zéro est l'inverse de la réialtaatts cherchée R. Car leur résultante serait

?'«•?'«••.• <p'am4'a*4'*|.M+a«i

cci ft^ a^ • . * CLfn

-^ fii^-l j^ fil— 1 ^ tn — 1 ^ wi-^i

«t"» ûe,»*» «s

OU, par des théorèmes Connus,

Cherchons maintenant une transformée de F telle, que la résultante ded nouvelles dérivées soit Tinverse de cellen:!, c'est-à-dire R. Pour y arriver, posons

on aura

«4-«my+am 5^4-... + ««"*-*« = An,;

I»* PARTIE. -- CHAPITRl II. - 5 VH. d9

et

JdF y A

idF y ttA

(6) / ^dF y a*A

'idv~2d^<i)^'(a)'

le signe 2 s'étendant à toutes leâ racines <xi^ oc^^ ..., a^*

Exprimons maintenant F en fonction de nouvelles variables X, Y| Z, ..., V, qui seraient liées aux anciennes par les équations

.y idF ««A« I K^'A, . |. «ihAih

^^—ïdy — +k)t'w"^ +;«.)?'(«.) +(««)?(««) •

(7) /y i<^F a,«A, ««A, . I «m'Am

Pour cela, nous tirerons de ceê équations les valeurs des quantités

Aj, A)« A3, •••>! A|||

en fonction de a^, «j, ..., «^ et des nouvelles variables X, Y, ..., V- Rappelons-nous à cet eflet que^ quand on a un système d'équations tel que

(8) \l>iV+P.V+P3V+ +PmX'=i.,

la valeur dep«* est déterminée par Téquation

(9) f{\)Pi^holo+Kh+Kh + ^''+fhn^iln^if

&o> ^i« ^t» •••« Affi-i ét^Dt les coefficients des puissances X^, X^, ..., A**"* dans la fonction

X— Xi'

ou, en d'antres termes, le second membre de (9) étant ce que devient 1^; après y avoir changé les exposants de l en indices. Par consé-

I— -Ai

qaent, en désignant par Ç une indéterminée quelconque, on aura

A. <pK)

A.» y (g «Ko».) Ç— «»'

pourvu que, la division faite, on change

respectivement en

A l'aide de ces valeurs, l'expression (S) de F deviendra

(11) ^^yMiWjjn

C' étant une autre indéterminée, analogue à ^^ dont les puissances successives

H'j K'\ K'\ ç""^S devront aussi se changer en

Hais on a

ou enfin

(12) ^ <PWHO-^(^)y(0 ,

I"» PARTIE. — CHAPITRE H. — § VH, 61

et Ton voit qne^ sous cette forme symbolique , ^ est immédiatement

exprimable en fonction des coefGcients des deux équations proposées.

Il reste maintenant à démontrer que la résultante des nouvelles

dérivées

est l'inverse de celle des dérivées anciennes

1^ IdF IdF idF

2daj' 2rfy ' 2dz' ••** ïdv'

Or, en appelant i l'invariant de la forme quadratique en x, y, z, ...^v, qu'on peut considérer comme la transformée de celle en X, Y^Z, ...yV, dont nous désignerons l'invariant par I, on a, d'après un théorème connu,

Î=I.S\ S étant le déterminant de la substitution (7). Mais on a

donc I, ou la résultante des fonctions (13), sera égale à

Ainsi, la recherche de cette résultante R est ramenée à celle de la résultante de l'élimination des variables X, Y, Z, •.., V entre les dérivées de ^; et comme de l'équation (12) on déduit aisément la suivante:

où, pour rendre la loi de formation plus évidente, on a changé les variables

respectivement en

Xqj Xi, X^, •.., Xm.iy

on conclura que la résultante R pourra se mettre sous la forme d'un déterminant symétrique, dont chaque élément sera la somme d'un * certain nombre de déterminants binaires isobariques {afij — afii).

«fi THÉORQS GÉNÉRALE DE L'ÉLIMINATION.

Supposons, pour fixer les idées, m=3, 4; on aura successivement

5f;=(ao6i— o,6o)X,'+2(Oû6j— a^6p)X,X,+2(og&,— a.ftjXpX,

^=(ao6i— 6o6.)X3'+2(ao6,— «j6o)X,X,+2(aoft,— a,6jX,X,

+(::t:i)^'*-^2C;:;i:;yx.x,H-2(a,^

On peut encore, d'après M. Cayley, obtenir très-simplement la forme (4) (§ VI) de la résultante. Il suffît de remarquer que l'équa-

ti^„ lMiMziiM^) = a lieu quel que soit y. Alors, en égalant »

zéro les coeflicients des diOerente^ puissances de y, on a un nombre m d'équations, chacune de (m — l)'^^ degré en ^, qui subsistent ep même temps que les proposées ; et dont, en éliminant les puissances ^m-i^ /pm-2^ ^^ ^1^ ^0^ traitées comme des inconnues, on obtiendra la forme cherchée.

§ VIII. Forin^lion dpi pcilynomat noltipllMitttaM.

Nous ayons vu, au paragraphe III, comment, par l'introduction des polynômes multiplicateurs, on arrive h trouver I9 résultf^Qte <)e ^^^^ équations données.

Prpposons^nous maintenant de trouver en général les fenetions entières *, W de degré m — 1, propres à satisfaire à l'équation

U étant une fonction entière de degré 2m — 1. Cela pourra toujours avoir lieu, puisque nous pouvons disposer d'un nombre de coefficients arbitraires égal à celui des coefficients donnés dans U- En égalant entre eux les coefficients de la même puissance de a dam les deux meiqbres, on aura une série de 9m équations propres à fournir lai '

!'• PARTIE. ^ CHAPITRE H. — J Vffl. 63

valeurs des coefficients de * et de W. Leur dénominateur commun sera la résultante R ; car, évidemment, il pe pourra pas différer de celui que Ton obtiendrait dans le cas de U=;?0 (voir pagç 33). On pourrait donc supposer U==:RT, et alors les CQeffipjents (]e <(^ et d^ T dans l'équation (1) réduite à la forme

(2) ç*+({;^— RT

seront des fonctions entières des coefficients de (p, 4^ et T,

La détern^ination des fonctions multiplicatricè; ^, ^, dang le çn général de

(3) T=(î,(r^-^+Cia?^'^-^+. , . + p,«^,,

revient à celle de cq^ RièmôS fonctions dans )e cas de Tz=:x\ l étant un quelconque des exposants 2m — l, 2m — 2, ..., 2, 1, Q, Cir si l'équation

est satisfaite, la suivante

le sera encore ; et par eonséquent, dans le cas général, les fonctions ^ et W seront des sommes des termes tels que

Cela posé, en résolvant les équation? (3) (§ V|), coupime si les puissances a?»"""*, a?"»-*, ..., a?^ étaient des inconnues, on a

(A) \ Ite"'-«=A,,o/o + A3ii, + A,,aî,+... + A,,^^^.,,

équations qui, à cause de la relation Ar,«=Ary, toutes les fois que ^+s = r^4-s^ (voir chap. III, §1), peuvent encore s'écrire

R^'»~^ = Aoîo+Ai/i + AJ,+...+A^^J,„.i, Raî'»-2=Ai/o+A2/i+ A3Ï,+...+AX^, ,

Ra?o=A^-iio+A„A+A^+i/,+...+ A,^.tP""'.

où l'on a en général

Substituons, dans cette équation, les valeurs de l^, l^ ..., tirées des équations (2) (§VI), il viendra Raî«-»'-^={A^o+A^,(aoaî+ai)+A^(a,«*+aia?+aj)+...)iJi,

— {AA+AH.|(fcoaî+fci)+A^2(6,aî*+M+60+--lTî et en posant

(6) *,=A^,+AH-i(aoaî+aO+A^(a,a^+aia?+a,)+...

+A,+,„(a,aî«»-*+a,aî'»-^+.., + a„,.i) — *=A,6,+A^i(6,aî+6,)+A,+2(6,x*+64aî+6,)+...

+A^(6,aî'«-*+6,af»-»+...+6^«0.

nous aurons

(7) <ï>^ç+^,4; = Raf«"^^

Ainsi, dans le cas de Tl=x^'^^\ on obtient bien aisément les valeurs des fonctions multiplicatrices ^, ^, au moyen des quantités A. Mais comme, dans le cas général, les exposants qui figurent dans la fonction T peuvent dépasser le nombre m — 1 , il nous reste à faire voir comment on peut de ces mêmes équations tirer les valeurs de ^ et de ^ correspondantes à une puissance de x supérieure à la

A cet effet, j'observe que Ton pourra profiter des relations trouvées

jusqu'à présent, en permutant x en -, et en même temps a^^ br en

^m-n ^m-r l ^^^7 V^^ ^^^ ^^^^ échanges, les équations proposées f =0, ^=:0 deviennent les mêmes. Alors les fonctions f , 4^ se changent en x'^^cf, x^^^y et l^ devient

ir=i(«m-i^+ am-r+i^ï^*+ • • • + «m) 9 ^^Tf?

OU bien, en ayant égard aux équations f et i{/,