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Xombre dei «otMiionf indépendanlef.

En Vertu dû demter théorème, on aura t'éqnation

en désigtliant par p 1^ nombre des solutions commune^, ^ fhr Di, D|, ... D^ ce que détient la fonction D(<x, |3, ... y) par la BûbslitUtron des soIttCions aiP^ • • .71% cc^P^ • • ^72 1 • • •

Or, il est évtiient qu'on peut former autant de ces équations ^e de foison peut faire Tariar la somme p+9+..*+^ depuis jusqu'au nombre exprimé par le degré de D diminué d'une unité*

Appelons X le nombre des variables, et ataf.ax les degrés des équations 4^, 0^ ... 61 ; posons de plus

(2) $=ai+a,-4-... + ax.

En obserrant que le degré de D est $'— -X , le nombre de ces équations sera

car il devra être évidemment égal à celui des termes compris dans une équation de degré ç — X — 1.

Les Ao équations (1), dont on peut faire dépendre toute autre de la formule (11), nous prouvent que les p solutions ne sont pas toutes arbitraires, puisqu'elles sont assujetties à les vériGer. Cependant il ne faudrait pas en conclure que le nombre des solutions indépendantes est p — A^; car, comme nous allons voir, ces A^ équations de condition ne sont pas toutes indépendante». Multiplions , en effet, les équations ^=0, 6=0, Wo=0 ?^^ ^®s arguments d'ordre au plus ç — a^ — X — 1, ç — ttj — X — 1, ... ç — ax— X — 1, on formera des équations de degré ç — X — 1, dont le nombre sera

(ç— flx— X)(;--flx— X+l)...(c— qx—i) "*■ 4.2.3...X

Or, au moyen d'une quelconque de celles-ci, on pourra faire dépendre une quelconque des équations (1) des autres Aq — ^1. Car, en faisant la somme de toutes les Ao équations (1), après les avoir respectivement multipliées par des constantes convenables, on retrouvera les équations que fournira unje des (A J, en y substituant successivement les solutions, et Ton aura, par conséquent, une somme nulle.

Remarquons toutefois que les équations A| ne sont pas non plus toutes indépendantes. Appelons, en effet, jx^ un argument d'ordre non supérieur à ç— ai — a^ — X — 1, on pourra former avec le type

des équations d'ordre au plus ç— X — 1 , en nombre

(g— g,— g,— x)(ç— fl^— g^— x+I ) . . . (c— g,— Ot— i )

, (g— g,— g,— x)(g— g,— g,— XH-l)...(g— g«— o,— 1) "^ 1.2.3...X '

. (g— gx-i— gx— x)(g^gu.i— gx— x4-i)...(c— ox-i— gx— i) '^ 1.2.3...X '

m- PARTIE. — CHAPITRE I. — § VI. 173

qu'il faudra retrancher du nombre Ai pour avoir le nombre des équation$ (Al) qui resteront indépendantes. .

Mais, de la même manière, les équations (A,) ne sont pas non plus toutes indépendantes; car, en appelant /x, un argument d'ordre au plus ç — ai — a, — a^ — 1 — 1, on pourra former avec le type

des équations d'ordre au plus ç— X — 1 en nombre

par lesquelles on réduira le nombre des équations (A,) indépendantes à A, — A3 y et par conséquent celui des équations (A^) indépendantes à A|— A, — Aj,

En continuant ainsi, on voit qu'en posant en général

ÎA (g-^,^a,-.„.-fl,^x)(ç— fl^— g,— ...■-.g,^-x+1)...(t— «4— gj— "«— g<+0 + (c— ox-i — «x-i^.! — . . . — ox— X) . . . (ç— ax-i — g^i+i — . . .— gx+ i ) "*" 1.2.3...X '

le nombre des équations (Ai) indépendantes sera

Al— AJ+A3— .•.+(— l)^-^*Ax-i.

Par conséquent, le nombre des équations de condition (1) indépendantes, c'est-à-dire qu'on ne pourra pas retrouver à l'aide des équations proposées, sera

(8) N=Ao— Ai+A,— A3+...— (— l)^Ax-i.

Or, je dis que ce nombre N se réduit simplement à afi^ay^.ax'.i ax — 1. En effet, on peut mettre ce second membre sous la forme

174 THÉOAIE GÉNÉRALE J>E L'ÉLIMINATION.

Observons maintenant que le nombre des quantités D est é^\ k a|a2...ax=p. Si 4onc <m éUaiînede» Ao é(|«atiaw de «f^nditioo (1) les fonctions D, ce qui pourra se faire en éliminant simplement leurs rapports, et exigera p — 1 équations, on aura précisément employé le nombre d'équations de condition qui, d*après ce qui précède, doivent rester indépendantes. Les antres, dont le nombre sera

(9) B=A^ — ùia^ • • .ax+1 »

exprimeront des conditions qui doivent exister entre les quantités

afin qu'elles puissent être regardées comme des solutions deai éqoa-» tions proposées.

Ainsi les p solutions communes, loin d'être arbitraires, sont assujetties à vérifier B éqnati^AS^ de cmAition^

Cependant ces B équations ne sont pas encore toutes indépendantes. Pour le prouver dans un cas particulier, nous chercherons quel est ce nouoibre torsqu' w wppo^e a^s^; a,=; a >, , . :^q^ ^ «• A cet ç0iet„ noua dojjineroAs d'oJbord ce t(?iéorèaie :

Pour dilerminer un système de X équations de a*™^ ordr^ à X varta-^ blés, il est nécessaire et suffisant de connaître

(n+i)(n4-2)...(n-hX) 1.2.3...X

systèmes de solutions.

Appelons, en eflet, P ce nombre, et substitij^ons, dans une équation de a^*"* ordre, dont les coefficients seront considérés comme inconnus, P de e(^s s^^«içs 4e solutions ; nous obtieQdfws P équations linéaires par rapport aux coefticients. Mais (e nom^l^re de$ ço^f&ci^9l($ qu'il faudrait déterminer étant

et n'apnt^ (l'autre part, « oot^e 4iÂp6»Hion, ^ua 1^ équations^ il nê^ tçra X coefficients dont (es \sile^^a seront $tf]^itvwftt etqw» hoos ap> pellerons a, ^, ... y. En éliminant maintenant tea 9litfei onefBoîwts, la valeur de l'up ^qelcofqu^ d* wUr^ &i^%^ 4i» o^fif îent^ pa» exeaiple, de l'argument x^y^9^^.,.u^, ^pra cette expression

Apçr...!, ^pqr„.ty ••• Cp^...i» désignant des fonctions d'arguments foFmées à l'aide des solutions communes. On pourra donc ptettre une d^s équations, telle que (p, sous la forme

(10) T=a2A^r,..^a;Pt(^2''...t*'

Toute autre équation 6, q^ui, par hypottièse, 4Qvr% i^'4v4iMii¥K W lifrtu des mêmes solutions, p):endra aus^i I9 fojço^Q

(11) Ô= ^'^^wr-**^»*^^-^

où a, ^\ ... y msA d'Mlves eoeffeient» ftrihilpaires d^reuts d'es premiers ; autrement ]fi$ de^x ^u^tions f ^i Qi coïikctder^ient. Oq. aw6^ ée >a sorte > équation» de la^ ferme (10) el (11), auxquelles satisferont les P systèmes de solution; et l'^ F^^i^rcpftBir» que tWÊJ^è kaé(|«a-» tions en nombre infini, spsceptible^^ d's^voû; 1/^ p soJijiitioJii9(» p#f eela seul qu'elles en admettent P, doivent avoir les formes susdites. Or, il est biea évidei^t qu'en supposant que pour tes p systèmes de solutions on ait

(12) ^^pgr...iiXfy'z\..U^=0,

les équations f=0, 6=0, etc., seront satisfaites aassi par ces p solutions. Réciproquement, en exprimant, à l'aide des équations (10), (11), etc., les fonctions (12) en fonction linéaire de 9, Oj etc., on verra qu'elles devront s'annuler en même temps qu'elles. D'ailleurs, les équations (12) sont bien de a^"*^ ordre et à X variables; donc on aura bien trouvé les équations que l'on cherchait, à l'aide seulement de P systèmes de solutions.

De là on conclut que les autres systèmes de solutions

(13) p— P n^ ^^jj-^ l-A

sont dépendants des autres, et l'on a, par conséquent, cet autre théorème :

Etant donnés n^ systèmes de solutions communes à X équations de n^ine orjif^^ il y aura entre ces solutions

(14) x{p^^)=Hn^+x)--^:^±ï^^;^^

équations de condition.

Or, dans le cas particulier que nous considérons, le nombre B des équations de condition aurait été, d'après la formule (9),

mais puisque, au contraire, ce vrai nombre est donné par la formule (14), il y aura parmi les équations (B) un nombre

(.5) B-X(p-,)=£!!=a^+ ("^^MM-V ->'-.>|lH->)

d'équations qui dépendent encore des autres.

Supposons, par exemple, X=3; on aura

B— A(p— P)= (n— l)(ii— 2)(n-3).