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^ Théorème de Jaoobi.

Si Ton déduit de l'équation (11) la valeur de la somme des solutions communes x^ on aura

(1) 2^=-2, cKP....,) ■•

Or, en substituant dans le second membre les valeurs de a', |3', ... y' fournies par les équations (6), le numérateur sous le signe 2 deviendra une fonction linéaire des fonctions ç^, fl^, •.. S^ , et lorsque celles-ci seront nulles, il se réduira à wi(«, (3, ...y). Par conséquent, on aura dans ce cas

■^«oKPj — t)

tin* PARTIE. — CHAPITRE I. — § V. 169

Mais on aurait pu obtenir cette somme d'une autre façon. On aurait pu, par exemple, substituer les valeurs de y, z, ... u déduites des A— ^1 dernières équations dans la première.

Désignant alors par X, ^t, ... v les racines simultanées des équations

(3) fi^>(X, fx, ..•v)=0, ...Ço(X, |x, ... v)=0, a}o(X, /x, ...v)=0, et déterminant X\ /x', ••• v\ comme avant, par les équations

on obtiendra

Or, si Ton appelle 2l(X, fx» ... y) ou simplement ^ le déterminant

de. de.

rf«o

c2X df^ * (fv

et si Ton suppose, comme ci-dessus, que Ton ait

il viendra simplement, d'après la théorie des déterminants,

V= — - Axû)i(A, jx, ... v) ,

ti^o

OÙ par Axt etc., Ton entend les dérivées de A par rapport à ~, etc.

170 THÉORIE GÉNÉRAlfc DE L'ÉUMlNAtlON,

£a èubftttMaht ces valeurs dâi^s la formiilé (5) et en posant, pour

(AxDx + VÏ>i* + .-+AvDv)tj;o=— D(X, fi, .•. v)^

on aura

/o\ Va:— yft^i ^p.,... v)Dft, p., ..,v)

En identifiant niàiatetlaM cette ibrntute i faMre (3), on obtiendra

Cette équation exprimera donc une propriété qui dkit exister entre les fonctions ^or^ôi ^j ^^ ïoHttiefii cèmtnlines^ Hais il est à noter qu'à l'exception de la dernière , dont le degré sera au noini îaférieur d'une unité à celui de eooi ces fonctions peuvent être supposées quelconques.

On peut supposer en particulier

Wo{y, «1 *.. M) = D(y, %i ... u),

et alors le second membfere de l'équatioti (9) s'évanouira de lui-même^ car on a par hypothèse

et par conséquent D(X, fA, «a v)'=0 ainsi.

On aura donc

où 6)1 est nécessairement d'ua degré inférîemr iau moins d'une unité à celui de la fonction D.

Nous pouvons donc énoncer ce théorème :

Soient a, ^, ... y un système quelconque de solutions communes à X équations à x varièAles :

Gooçle

m* ^ARtte. -cËAwraË i.— ç vi

«1 D fe iétmniMmt

db d» (26

d* dp • * • d-(

d« d? • * • dY

on aura, en étendant lé ^igne S à tontes, le$ Systems des sotutiàns tom^ munes aux équations (10),

/*^(a, p, ... 7) d^s^^nt une fonction quelconque de degré inférieur à celui de D.